Boa noite,
Ando um bocado aqui ás voltas com esta questão.
Se alguém me puder ajudar, agradeço desde já.
Abraço
| Anexos: |
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Sucessão.PNG [ 14.64 KiB | Visualizado 3412 vezes ] |
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| Limite e Sucessão | x(1)=2, x(n+1)=(2+(x(n))^2)^(1/4) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=68 |
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| Autor: | silvanuno11 [ 27 nov 2011, 02:36 ] | ||
| Título da Pergunta: | Limite e Sucessão | x(1)=2, x(n+1)=(2+(x(n))^2)^(1/4) | ||
Boa noite, Ando um bocado aqui ás voltas com esta questão. Se alguém me puder ajudar, agradeço desde já. Abraço
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| Autor: | João P. Ferreira [ 28 nov 2011, 01:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite e Sucessão |
Vc faz-me pensar  Vamos então resolver a sucessão definida por recursividade \(x_{n+1}=\sqrt[4]{2+(x_n)^2}\) Ora então vejamos \(x_1=2 \ \ \ x_2=\sqrt[4]{2+(2)^2} \approx 1,56 \ \ \ x_3=\sqrt[4]{2+(\sqrt[4]{6})^2} \approx 1,45\) Parece então que a sucessão é monótona decrescente Vamos provar ainda por indução matemática que a sucessão é maior que zero ou seja \(x_n>0\) A Base é \(x_1=2>0\) O passo é provar agora que se é válido para \(x_n\) também é válido para \(x_{n+1}\) Como \(x_{n+1}=\sqrt[4]{2+(x_n)^2}\) e como se considera que \(x_n>0\) prova-se facilmente que \(x_{n+1}>0\), logo prova-se assim por indução que \(x_n>0\) para todo o n. Vamos provar agora que a sucessão é decrescente \(x_{n+1}-x_n<0\) \(\sqrt[4]{2+(x_n)^2}-x_n<0\) \(\sqrt[4]{2+(x_n)^2}<x_n\) Como \(x_n>0\) elevamos à quarta dos dois lados e o sinal da inequação não troca \(2+(x_n)^2<(x_n)^4\) \((x_n)^4-(x_n)^2-2>0\) Façamos uma substituição \((x_n)^2=y_n\) \((y_n)^2-y_n-2>0\) Achamos os zeros pela fórmula resolvente \((y_n-2)(y_n+1)>0\) substituindo novamente \(((x_n)^2-2)((x_n)^2+1)>0\) Temos um produto de duas sucessões sendo que é fácil ver que \(((x_n)^2+1)>0\) Temos de provar agora que \(((x_n)^2-2)>0\) Vamos provar então por indução matemática que \((x_n)^2>2\) A base é \((x_1)^2=4>2\) O passo é se \((x_n)^2>2\) então \((x_{n+1})^2>2\) Como \(x_{n+1}=\sqrt[4]{2+(x_n)^2}\) e considerando que \((x_n)^2>2\) é fácil ver que \((x_{n+1})^2=\sqrt{2+(x_n)^2}=\sqrt{a}\) em que \(a>4\). Logo verificamos fácilmente que \((x_{n+1})^2=\sqrt{a}>2\) Logo provamos finalmente que \(((x_n)^2-2)((x_n)^2+1)>0\) pois é o produto de duas sucessões maiores que zero, e consequentemente provamos que a sucessão é decrescente. Se a sucessão é monótona (decrescente) e limitada (entre 0 e 2), é convergete Volte sempre
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| Autor: | João P. Ferreira [ 28 nov 2011, 01:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite e Sucessão |
Para resolver o limite basta considerar que \(\lim{x_n}=\lim{x_{n+1}}=a\) Basta então resolver esta equação \(a=\sqrt[4]{2+a^2}\) e calcular \(a\) lembrando-se que \(0<a<2\) Cumprimentos |
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