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Cálculo de um limite com indeterminação ∞/∞
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=7878		 Página 1 de 1
Autor:  TelmaG [ 28 jan 2015, 21:00 ]
Título da Pergunta:  Cálculo de um limite com indeterminação ∞/∞
Já coloquei aqui no fórum uma questão com este mesmo exemplo na qual perguntava se estava presente uma indeterminação. Acontece que agora tive acesso à resolução do cálculo do limite e surgiu-me uma dúvida.

Por substituição direta obtenho \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{2x-\sqrt{x}}{x+1}=\frac{\infty -\infty }{\infty }\)

Mas na resolução que consultei procedeu-se da seguinte forma: \(\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{2x-\sqrt{x}}{x+1}=^{\frac{\infty }{\infty }}\, \lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{2-\frac{\sqrt{x}}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{2-\sqrt{\frac{1}{x}}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{2-0}{1+0}=2\)

A minha dúvida é precisamente acerca do tipo de indeterminação indicado. Porque é que se por substituição direta de +∞ em x obtemos \(\frac{\infty -\infty }{\infty }\) no cálculo do limite se indicou uma indeterminação do tipo \(\frac{\infty }{\infty }\) ?

Agradeço pela atenção!
Autor:  pedrodaniel10 [ 28 jan 2015, 21:09 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de um limite com indeterminação ∞/∞
Isso depende como se calcule o limite de cada termo. Se for o polinómio todo fica assim:
\(\frac{\lim _{x\rightarrow +\infty }(2x-\sqrt{x})}{\lim _{x\rightarrow +\infty }(x+1)}=\frac{+\infty}{+\infty}\)

Se for por termos fica assim:
\(\frac{\lim _{x\rightarrow +\infty }(2x\sqrt{})+\lim _{x\rightarrow +\infty }(-\sqrt{x})}{\lim _{x\rightarrow +\infty }(x+1)}=\frac{+\infty-\infty}{+\infty}\)

Não deixa de ser indeterminações no contexto matemático
Autor:  TelmaG [ 28 jan 2015, 21:24 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de um limite com indeterminação ∞/∞
Mas \(\frac{2x-\sqrt{x}}{x+1}\) não é um quociente de polinómios, logo não posso aplicar o teorema que diz que o limite do quociente é igual ao limite do quociente dos termos de maior grau do numerador e do denominador?
Autor:  pedrodaniel10 [ 28 jan 2015, 21:35 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de um limite com indeterminação ∞/∞
Sim, não é um polinómio e não podes usar esse teorema
Quando fazes substituição direta, é o mesmo que tu fazeres isto:
\(\frac{\lim _{x\rightarrow +\infty }(2x\sqrt{})+\lim _{x\rightarrow +\infty }(-\sqrt{x})}{\lim _{x\rightarrow +\infty }(x+1)}=\frac{+\infty-\infty}{+\infty}\)

A forma correta é esta:

\(\frac{\lim _{x\rightarrow +\infty }(2x-\sqrt{x})}{\lim _{x\rightarrow +\infty }(x+1)}=\frac{+\infty}{+\infty}\)

Porque tu sabes que o limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja 0.
Autor:  TelmaG [ 28 jan 2015, 21:41 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de um limite com indeterminação ∞/∞
Porque é que o numerador vai ser igual a mais infinito \(2x-\sqrt{x}=+\infty\) ?
Autor:  TelmaG [ 28 jan 2015, 21:59 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de um limite com indeterminação ∞/∞
Desenhando o gráfico da expressão \(2x-\sqrt{x}\) vê-se claramente que quando x tende para mais infinito a expressão tende para mais infinito. Penso que já entendi, finalmente. Deixe-me dizer-lhe uma coisa: gabo-lhe a paciência que tem tido comigo e com as minhas dúvidas sobre limites e indeterminações que são para além de muitas! Agradeço imenso :)
Autor:  pedrodaniel10 [ 28 jan 2015, 22:07 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de um limite com indeterminação ∞/∞
Sem calcular o limite por processos analíticos, eu sei que \(x>\sqrt{x}\)

Então também tenho a certeza que \(2x-\sqrt{x}>0\)
Quando x tende para valores altos, \(2x-\sqrt{x}\) tende também para valores altos. Sendo assim, quando x tende para infinito, a expressão também tende para o infinito.

O que eu posso adiantar de uma forma geral é que se tiveres um limite de x a tender para mais infinito (apenas para o mais infinito é verdade):
\(y(x)=x^n-x^k, \forall n\in \mathbb{Q}^+\: \: \forall k\in \mathbb{Q}^+\)

Se n>k, então y(x)=+∞
Se n=k, então y(x)=0
Se n<k, então y(x)=-∞
Autor:  pedrodaniel10 [ 28 jan 2015, 22:09 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de um limite com indeterminação ∞/∞
Esqueci-me de referir que é independente dos seus coeficientes.
Autor:  pedrodaniel10 [ 28 jan 2015, 22:15 ]
Título da Pergunta:  Re: Cálculo de um limite com indeterminação ∞/∞
pedrodaniel10 Escreveu:
Esqueci-me de referir que é independente dos seus coeficientes.


Desculpa outra vez, para \(n\neq k\)
Se \(k=n\) isto daria algo do tipo: \(ax^n-bx^n=(a-b)x^n\)
Sendo a e b os respectivos coeficientes
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