Fórum de Matemática
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\(\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}-sen^{2}(x)}{x^{2}sen^{2}(x)}\)
O valor desse limite é 1/3.
L'Hopital nas primeiras 3 vezes manteve a indeterminação, então mesmo que seja possível resolve-lo aplicando L'Hopital mais vezes, gostaria de saber se há alguma outra forma de resolução.

Pode utilizar a fórmula de Taylor...

\(\sin x = x - \frac{\cos (\xi_x)}{6} x^3, \qquad \xi_x \in [0,x]\)

Assim o seu limite fica

\(\lim_{x\to 0} \frac{(x+\sin x)(x- \sin x)}{x^2 \sin^2 x} = \lim_{x\to 0}\frac{(2x - \frac{\cos \xi_x}{6} x^3) \frac{\cos \xi_x}{6} x^3}{x^2( x - \frac{\cos (\xi_x)}{6} x^3)^2} =\lim_{x\to 0} \frac{(2- \frac{\cos \xi_x}{6} x^2)\frac{\cos \xi_x}{6}}{(1-\frac{\cos \xi_x}{6}x^2)^2} = \frac13\)

Obs: Como \(\xi_x \in [0,x]\), temos que \(\lim_{x\to 0^{+}} \cos \xi_x = 1\).