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Prezados,

Pq não podemos inverter a ordem da clássica definição de limites, ou seja, ao invés de "Dado epsilon, existe delta..." tivermos "Dado delta, existe epsilon......." ?
Faço essa pergunta porque, se "Dado delta, existe epsilon......." falhar em algum ponto (obviamente "deve" falhar pq nunca a vi em livro algum), é obvio que aceitarei a definição clássica sem dor na consciência.

Obrigado
Carlos Renato

A menos que uma proposição \(P(\varepsilon,\delta)\) seja simétrica (i.e. não varia com a troca de \(\varepsilon\) por \(\delta\)) a proposição "\(\forall\varepsilon \exists \delta P(\varepsilon,\delta)\)" é diferente da proposição "\(\forall \delta \exists \varepsilon P(\varepsilon,\delta)\)".
É o caso da definição de limite de \(f(x)\) ser igual a \(b\) quando \(x\) tende para \(a\):
\(\lim_{x\to a}f(x)=b\stackrel{\rm def}{\Leftrightarrow}\forall\varepsilon>0 \exists \delta>0 (|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon )\)
ou em linguagem corrente: dado \(\varepsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que se \(x\) dista menos que \(\delta\) de \(a\) então \(f(x)\) dista menos que \(\varepsilon\) de \(b\).
Se trocarmos a ordem das variáveis epsilon e delta ficamos com "dado \(\delta>0\) existe \(\varepsilon>0\) tal que se \(x\) dista menos que \(\delta\) de \(a\) então \(f(x)\) dista menos que \(\varepsilon\) de \(b\)" que é algo diferente. Por exemplo com esta troca teríamos que a função \(f(x)=x\) tende para 1 (ou qualquer outro número real r) quando \(x\) tende para zero:

dado um \(\delta>0\) existe um \(\varepsilon>0\) (por exemplo \(\varepsilon=\delta +1\)) tal que se \(|x-0|<\delta\) então \(|f(x)-1|=|x-1|<\varepsilon\)

No entanto na definição usual temos que \(\lim_{x\to 0}x=0\) é o único limite correto.

Rui,
Muito obrigado pelo esclarecimento!
Ontem a noite estive pensando sobre isso.
Talvez um argumento mais geral sobre a impossibilidade de "dado delta, existe um epsilon..." reside no fato de que a definição de limites, afinal de contas, é uma condicional. Com efeito, se eventualmente encontramos um epsilon (E) a partir de um determinado delta (D), então na definição de limites partiríamos de 0<|x-a|< D e deduziríamos |f(x)-L|< 2E (porque 0<|x-a|< D implica 0<|x-a|< 2D), e também partiríamos de 0<|x-a|< D para alcançar |f(x)-L|< 3E (pq 0<|x-a|< D implica 0<|x-a|< 2D que implica 0<|x-a|< 3D), e assim por diante, e ISSO DESCARACTERIZARIA A NOÇÃO INTUITIVA DE APROXIMAÇÃO, já que a largura do E estaria aumentando (2E, 3E, etc..), enquanto que a largura do D permanece constante.
Observe que não usei de muito rigor. Basicamente só para mostrar uma idéia geral e intuitiva e supondo que a função permita multiplicar linearmente os E's e D's por 2, 3, etc.
Estaria correto meu racionínio?
Obrigado!
Carlos Renato