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Estou com dificuldade em provar o item "b" do problema abaixo. Agradeço qualquer ajuda.

Problema: Seja \(\alpha\) a raiz real do polinômio \(p(x)=x^3-2\).

a) Prove que só existe um automorfismo em \(\mathbb{Q}[\alpha]\).

b) Se \(L=Gal(x^3-2;\mathbb{Q})\), prove que existem 6 automorfismos em \(L\).

Solução.

a) Como \(\alpha\) é raiz de \(p(x)\), \(p(\alpha )=\alpha ^3-2=0\). Se \(f\) é um automorfismo, então \(f(p(\alpha))=f(\alpha^3-2)=f(0)\Rightarrow\)\(f(\alpha)^3-f(2)=0\Rightarrow\)\((f(\alpha ))^3=2\Rightarrow\)\(f(\alpha )=\sqrt[3]{2}=\alpha\). Segue imediatamente que \(f(\alpha^2)=\alpha ^2\). Agora tome-se um elemento genérico de \(\mathbb{Q}[\alpha ]\), que é da forma \(a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2\). então \(f(a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2)=a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2\), o que prova que o único automorfismo em \(\mathbb{Q}[\alpha ]\) é a função identidade.

b) Como \(Gal(x^3-2,\mathbb{Q})=\mathbb{Q}[\alpha ,u]\), onde \(u\) é a 3-ésima raiz primitiva da unidade, podemos escrever um elemento genérico de \(L\) como sendo da forma \(\gamma =a_0+a_1u+a_2\alpha+a_3\alpha u+a_4\alpha^2+a_5\alpha^2 u\). Então \(f(\gamma )=a_0+a_1f(u)+a_2\alpha+a_3\alpha f(u)+a_4 \alpha^2 +a_5 \alpha^2 f(u)\). Como se pode concluir daí que existem 6 automorfismos?

Bom dia,

Por curiosidade, pois não domino o assunto, estava pensando como relacionar 3 (raízes) com 6 (automorfismos) ou 6 com 3 e o que me vem é 3.2.1 = 3!. Então seria necessário saber se pode permutar, e daí justificar, as raízes nesse L do problema o que justificaria os tais 6 autormorfismos.

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Fraol
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Penso que se pode fazer desta maneira:

Tal como foi feito na alínea a) pode-se mostrar que a imagem de uma raíz de \(x^3-2\) por um automorfismo é também uma raíz do polinómio. Como os automorfismos ficam determinados pelas imagens das raizes de \(x^3-2\), estes formam um subgrupo de \(S_3\) (grupo das permutações de três elementos). Assim sendo, para mostrar que há 6 automorfismos (ou seja, que o grupo de Galois é isomorfo a \(S_3\)), basta encontrar dois automorfismos \(f_1\) e \(f_2\) com ordem 2 e 3 respectivamente.
Para \(f_1\) podemos tomar a conjugação \(f_1(x)=\overline{x}\) (fica apenas por completar a demonstração de que é um automorfismo).
Para \(f_2\) vamos tomar o automorfismo gerado por \(f_2(\alpha)=u\) e \(f_2(u)=-\alpha -u\) onde \(\alpha =\sqrt[3]{2}\), \(u=\sqrt[3]{2}e^{\frac{2\pi i}{3}}\) e \(-\alpha -u=\sqrt[3]{2}e^{\frac{4\pi i}{3}}=\overline{u}\) (exercício). Como \(L=Gal(x^3-2;\mathbb{Q})=\mathbb{Q}[\alpha ,u]=\{a_0+a_1u+a_2\alpha+a_3\alpha u+a_4\alpha^2+a_5\alpha^2 u | a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 \in \mathbb{Q}\}\), para mostrar que a transformação linear \(f_2\) gerada por \(f_2(1)=1\), \(f_2(\alpha)=u\), \(f_2(\alpha^2)=u^2=-\alpha^2-\alpha u\), \(f_2(u)=-\alpha -u\), \(f_2(\alpha u)=f_2(\alpha)f_2(u)=\alpha^2\) e \(f_2(\alpha^2u)=f_2(\alpha^2)f_2(u)=\alpha^2 u\) é um automorfismo basta verificar as identidades \(f_2(xy)=f_2(x)f_2(y)\), com \(x,y\in\{\alpha, \alpha^2, u,\alpha u,\alpha^2 u\}\) (exercício) que a identidade \(f_2(xy)=f_2(x)f_2(y)\), para x,y genéricos, sai pela linearidade e propriedade distribuitiva.