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| Provar que reunião de dois subespaços é um subespaço se e somente se. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=12248 |
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| Autor: | Engenet [ 19 jan 2017, 13:28 ] |
| Título da Pergunta: | Provar que reunião de dois subespaços é um subespaço se e somente se. |
Prove que a reunião de dois subespaços vetoriais de E é um subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro. Como resolver? |
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| Autor: | Sobolev [ 19 jan 2017, 17:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar que reunião de dois subespaços é um subespaço se e somente se. [resolvida] |
Uma das implicações é trivial. Se tem dois subespaços \(E_1,E_2 \subset E\) e \(E_1 \subset E_2\) então \(E_1 \cup E_2 = E_2\), sendo portanto um subespaço de E. Relativamente à outra implicação, vamos supor por absurdo que existem vectores \(x,y \in E_1 \cup E_2\) tais que \(x \in E_1\setminus E_2\) e \(y \in E_2 \setminus E_1\). Assim, o vector \(x+y\) também deveria estar em \(E_1 \cup E_2\)... No entanto... * Se \(x+y \in E_1\) então \((x+y) - x \in E_1\), pelo que \(y \in E_1\) !! (absurdo) * Se \(x+y \in E_2\) então \((x+y) - y \in E_2\), pelo que \(x \in E_2\) !! (absurdo) Concluimos pois que não é possivel escolher x,y do modo proposto, pelo que um dos subespaços deve estar contido no outro. |
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