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Seja V um subespaço vetorial. Se \((Uj)j\in J\) é uma família de subespaços vetoriais de V, mostre que \(\bigcap j\in JUj\) também é um subespaço vetorial de V.

Qual a maneira correta de ler esse tipo de questão e achar sua solução?

Para mostrar que um subconjunto de um espaço vectorial é um subespaço apenas é preciso ver que é fechado para a soma de vectores e para a multiplicação de escalares. Concretamente, tem que ver que

\(u,v \in \bigcap_{j\in J} U_j \Rightarrow u+v \in \bigcap_{j\in J} U_j\)

\(\lambda \in \mathbb{R}, u \in \bigcap_{j\in J} U_j \Rightarrow \lambda u \in \bigcap_{j\in J} U_j\)

vejamos por exemplo a primeira:

Se \(u,v \in \bigcap_{j\in J} U_j\) então \(u,v \in U_j, \forall j \in J\) mas, como cada \(U_j\) é um espaço vectorial, tem que \(u+v \in U_j, \forall j \in J\), o que por sua vez implica que \(u+v \in \bigcap_{j\in J} U_j\).