Fórum de Matemática
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Sejam F1 = [(0, 1, -2), (1, 1, 1)] e F2 = [(-1, 0, 3), (2, -1, 0)] subespaços de \(\mathbb{R}^3\). Mostre que \(\mathbb{R}^3\) = F1 + F2. A soma é direta?

Fiz da seguinte forma:

F1 + F1 = [(0, 1, -2), (1, 1, 1), (-1, 0, 3), (2, -1, 0)], logo, F1 + F2 = a(0, 1, -2) + b(1, 1, 1) + c(-1, 0, 3) + d(2, -1, 0). Chegamos em: F1 + F2 = (b + 2d -c, a + b - d, b - 2a + 3c). Tal vetor pertence ao \(\mathbb{R}^3\).

Para mostrar que é soma direta, preciso mostrar a intersecção: \(\left\{\begin{matrix} b = 2d - c & & \\ a+b=-d & & \\ b-2a=3c & & \end{matrix}\right.\) \(\sim \left\{\begin{matrix} 2d-c-b=0 & & \\ a+b+d=0 & & \\ b-2a-3c=0 & & \end{matrix}\right.\)

Fazendo escalonamento, chego a um sistema possível e indeterminado. Posso concluir que não é possível concluir se é ou não uma soma direta? Ou concluo que não é soma direta? Ou meu raciocínio está errado?

Quando determina um elemento de \(F_1+F_2\) e diz que é um vector de \(\mathbb{R}^3\), isso não mostra que a soma directa é \(\mathbb{R}^3\)... Repare que iria sempre obter um vector dessa dimensão. Tem que ver que essa soma gera \(\mathbb{R}^3\). Para isso pode por exemplo formar uma matriz com todos os vectores em linha e reduzir a uma matriz em escada. Se no final deste processo obtiver uma matriz com 3 linhas não nulas pode concluir o que pretende.

Já a intersecção não pode ser apenas o vector nulo uma vez que a soma não pode ser directa (o espaço teria dimensção 4, o que é impossível para um subespaço de \(\mathbb{R}^3\).