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| Fatoração com potência e raiz em Expressões Algébricas https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=12372 |
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| Autor: | petras [ 22 fev 2017, 23:43 ] |
| Título da Pergunta: | Fatoração com potência e raiz em Expressões Algébricas |
\(Se\ x^{x-\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1\ calcule\ o\ valor\ de\ x+\frac{1}{x}\) A)\(\sqrt{9}\) B)\(-\sqrt{2}\) C)\(2\sqrt{2}\) D)\(-2\sqrt{2}\) E)\(2\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 24 fev 2017, 02:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Fatoração com potência e raiz em Expressões Algébricas |
De uma forma pouco ortodoxa podemos verificar (por palpite) que se x>0 verificar a equação \(x=\sqrt{x}+1\) então também verifica a equação (*) \(x^{x-\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1\). Logo \(\sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) é uma solução da equação e portanto \(x+\frac{1}{x}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=3\) (opção A). Nota- Analizando o gráfico de \(f(x)=x^{x-\sqrt{x}}\) (decrescente de 0 a 1 e crescente e convexa de 1 a mais infinito) é possível ver que há mais uma solução entre 0 e 1, mas não sei chegar a ela. No entanto, é fácil ver que as opções B e D são inválidas pois x>0, a opção E também é inválida (teríamos que ter x=1 que não é solução da equação (*)). Quanto à opção C, fazendo as contas teríamos de ter \(x=\sqrt{2}-1\) e com a ajuda de uma calculadora consegue-se ver que não é solução da equação (*). |
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| Autor: | petras [ 24 fev 2017, 02:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Fatoração com potência e raiz em Expressões Algébricas |
Agradeço a atenção. De onde surgiu \(\sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) ? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 24 fev 2017, 03:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Fatoração com potência e raiz em Expressões Algébricas |
petras Escreveu: Agradeço a atenção. De onde surgiu \(\sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) ? Da equação \(x=\sqrt{x}+1 \Leftrightarrow y^2-y-1=0 \quad (\mbox{com }y=\sqrt{x})\). É usar a fórmula resolvente para equações quadráticas e reter a única solução positiva (nesta equação em particular). |
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| Autor: | petras [ 24 fev 2017, 03:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Fatoração com potência e raiz em Expressões Algébricas |
Entendi. Grato |
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| Autor: | petras [ 04 mar 2017, 03:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Fatoração com potência e raiz em Expressões Algébricas [resolvida] |
Compartilho a solução do colega "fantecele88" \(\\\ x^{x - \sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1 \rightarrow x^{x - \sqrt{x}} = \frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\rightarrow 1=\frac{(x^{-x+\sqrt{x}+1})}{(1-\sqrt{x})}\\\ x^{\sqrt{x}-x}-x^{(-x+\sqrt{x}+1)}-1+\sqrt{x}=0\rightarrow k=x^{(-x+\sqrt{x}+1)}\\\ (\frac{k}{x})-k-1+\sqrt{x}=0\rightarrow k-kx-x+x\sqrt{x}=0 \rightarrow z=\sqrt{x}\\\ k-kz^2-z^2+z.z^2=0\rightarrow z^3-z^2(k+1)+k=0 \rightarrow (z-1)(z^2-kz-k)=0\\\ z^2-kz-k=0 \rightarrow z = k(\frac{1+/-\sqrt{5}}{2})\\\ Para\ z = k(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) \rightarrow \sqrt{x}=x^{(\sqrt{x}-x+1)}.\frac{1+\sqrt{5}}{2}\rightarrow x^{x-\sqrt{x}-0,5}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \ mas\ x^{x-\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1 \rightarrow\\\ \frac{x^{x-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \rightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\rightarrow x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\\ x+\frac{1}{x}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{{2}}{3+\sqrt{5}}=\frac{18+6\sqrt{5}}{2.(3+\sqrt{5})}=\frac{6(3+\sqrt{5})}{2.(3+\sqrt{5})}=3\) Para o outro valor de z iremos encontrar √x < 0 (Não atende) E para z = 1 não encontraremos valor de x que satisfaça a equação. Resposta Letra A |
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