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| Desigualdade entre função exponencial e função potência https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=12784 |
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| Autor: | VitorFN [ 26 mai 2017, 17:54 ] |
| Título da Pergunta: | Desigualdade entre função exponencial e função potência |
Tenho uma questão que está me intrigando, se alguém puder me ajudar: Prove que uma função exponencial de base natural cresce mais rápido que qualquer função potência, desde que X seja suficientemente grande. Ou seja, prove que \(e^{x} > x^{N}\) para qualquer \(n\in \mathbb{N}\) - Por exemplo, para \(n=10\) temos: \(e^{x} > x^{10}\) Utilizando o programa WolframAlpha para resolver essa condição(n=10), ele mostra que \(x\) precisa ser maior que aproximadamente 35,77, mas como resolver para qualquer \(n\) apenas utilizando operações algébricas? Eu pensei em aplicar o logaritmo natural em ambos os lados, chegando à seguinte expressão: \(\frac{x}{\ln(x)} > n\) a partir daí não sei como proceder. |
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| Autor: | Sobolev [ 27 mai 2017, 00:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Desigualdade entre função exponencial e função potência |
A exponencial pode ser escrita como uma série de potências... \(e^x = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}, \quad x \in \mathbb{R}\) |
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