Desigualdade entre função exponencial e função potência

[VitorFN]

Tenho uma questão que está me intrigando, se alguém puder me ajudar:

Prove que uma função exponencial de base natural cresce mais rápido que qualquer função potência, desde que X seja suficientemente grande.

Ou seja, prove que \(e^{x} > x^{N}\) para qualquer \(n\in \mathbb{N}\) - Por exemplo, para \(n=10\) temos: \(e^{x} > x^{10}\)
Utilizando o programa WolframAlpha para resolver essa condição(n=10), ele mostra que \(x\) precisa ser maior que aproximadamente 35,77, mas como resolver para qualquer \(n\) apenas utilizando operações algébricas?

Eu pensei em aplicar o logaritmo natural em ambos os lados, chegando à seguinte expressão: \(\frac{x}{\ln(x)} > n\) a partir daí não sei como proceder.

[Sobolev]

A exponencial pode ser escrita como uma série de potências...
\(e^x = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}, \quad x \in \mathbb{R}\)