30 jun 2017, 15:06
Poderia por gentileza detalhar como a equação \(t^2-\frac{3}{2}t-1\)
pode ser passada para a forma \((t-\frac{3}{4})^2-\frac{25}{16}\)??
01 jul 2017, 01:08
Boa noite!
Foi utilizada uma técnica de completar quadrados:
É simples:
\(t^2-at\)
O que queremos é obter um termo que deixe aparecer um quadrado perfeito. Então, comparemos:
\((t-k)^2=t^2-2kt+k^2\)
Veja que na primeira equação temos 'at' e na segunda temos '2kt'. Então, podemos imaginar que o k é a metade de a, certo?
Façamos o seguinte:
\(t^2-at=t^2-2(a/2)t=t^2-2(a/2)t+(a/2)^2-(a/2)^2\)
Veja que gerei o termo que faltava para completar... somei e subtraí ao mesmo tempo, e forma a não modificar a equação. Agora:
\(t^2-2(a/2)t+(a/2)^2-(a/2)^2=(t-(a/2))^2-(a/2)^2\)
Vamos tentar executar para o que nos mostrou:
\(t^2-\frac{3}{2}t-1\\t^2-2\left(\frac{3}{4}\right)t-1\\t^2-2\left(\frac{3}{4}\right)t+\frac{3}{4}^2-\frac{3}{4}^2-1\\\left(t-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{9}{16}-1\\\left(t-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{25}{16}\)
Espero ter ajudado!
01 jul 2017, 17:27
Boa tarde!
Primeiramente muito obrigado!
Só ficou uma dúvida!
Como sumiu o termo \(2\frac{3}{4}t\)?
01 jul 2017, 21:30
Boa tarde!
Editei a resposta para corrigir um erro.
O termo é o seguinte:
\((x+a)^2=x^2+2ax+b^2\)
Veja que ao desenvolver aparece um termo 2ax. Quando colocado dentro dos parênteses, não há mais o '2'. Entendeu?
Espero ter ajudado!
01 jul 2017, 22:30
Entendi o processo, porém, ainda acho que estou com dificuldade.
O caso abaixo pode ilustrar o problema que estou tendo.
Como seria no caso abaixo?
\(\int \frac{dx}{3sinx-4cosx}= \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3(\frac{2t}{1+t^2})-4(\frac{1-t^2}{1+t^2})}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{6t-4+t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2dt}{2(2t^2+3t-2)}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2+\frac{3}{2}t-2}=\)
daí para a frente eu não estou conseguindo acertar.
a resposta do livro é:
\(\frac{1}{5}ln{{\frac{2tan\frac{x}{2}-1}{tan\frac{x}{2}+2}}}+C\)
obrigado pela ajuda!
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