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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Seja \(a\) um número real positivo tal que \(a^3 = 6(a + 1)\). Prove que a equação \(x^2 + ax + a^2 - 6 = 0\) não possui solução real.

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
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Boa noite . Pensei assim ,

Temos :

\(x^2 + ax + a^2 - 6 = (x+\frac{a}{2})^2 + \frac{3}{4}a^2 -6 = (x+\frac{a}{2})^2 + \frac{3}{4}(a^2 -8)\)

Mostre que \(a^2 -8 > 0\) usando a informação pelo enunciado \(a^3 = 6(a+1)\) .Conclua que , \(x^2 + ax + a^2 - 6 > 0\) e portanto não tem raiz real .

O que acha ?

Ontêm estava tarde ,acabei não concluindo o raciocínio .

Temos :

\(\left(x^2 + \frac{a}{2} \right) ^2 + \frac{3}{4}(a^2 -8)\) .


Hipótese , \((a^2 -8) > 0\) . Se isto for verdade ,demostramos que a equação inicial não tem raiz real , pois \((x + \frac{a}{2}) ^2\) é estritamante positivo ou nulo para \(x= -a/2\) .

Demostração .

Pelo enunciado , \(a^3 =6(a+1) \rightarrow a^3 - 6a - 6 = a (a^2 - 6) - 6 = 0\) . É fácil ver que \(a > \sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} < sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) .Pois , \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}([\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}]^2 -6) - 6 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}(6 -6) - 6 = - 6 < 0\) . (Contradição ).

Suponhamos que \(a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) .

segue então que ,

[; 2\sqrt{2}([2\sqrt{2}]^2 -6) -6 = 2\sqrt{2}(8-6) - 6 = 4\sqrt{2} -3 = 2 (2\sqrt{2} - 3) < 0 ;] .(Contradição ).

Tomando \(a = 3 > 2\sqrt{2} =\sqrt{8}\) ,obtemos que [; 3(3^2 -6) - 6 = 3(3) - 6 = 3 > 0 ;]

Ora ,os resultados acima automaticamente implica que \(a^2 -8 > 0\) .

Obs_1 .:

\(Seja , [tex] f : x \mapsto x^3 - 6x - 6\) , temos que \(f(a) = 0\) como \(f\) é uma função polinomial ,ou seja , \(f\) é contínua .Como \(0 \in ( f(\sqrt{8}) ,f(3) )\) implica \(3 > a > \sqrt{8}\) .Logo , \(a^2 - 8 > 0\) e portanto \((x^2 + \frac{a}{2} ) ^2 + \frac{3}{4}(a^2 -8) > 0 , \forall x \in \mathbb{R}\) .

OBS_2.: Os códigos entre [; ;] , copie eles e cole os mesmos neste site (http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=pt-br ) para visualizar os ...

Espero que ajude .

Boa noite .Interessante, veja : http://www.wolframalpha.com/input/?i=++ ... %28x-a%29+


Dividindo \(f(x)= x^3 - 6x - 6\) por \(x-a\) chega-se em \((x-a)[x^2 + ax + a^2 - 6]\) . Pois o resto é nulo . Uma outra forma interesante de mostrar que \(x^2 + ax + a^2 - 6\) não possui raiz real é mostrar a unicidade do anulamento da função \(f\) . Isto é , \(f(x) = 0 \leftrightarrow x = a\) .Como \(f(x) = x^3 - 6x - 6 = (x-a)[x^2 + ax + a^2 - 6]\) implica que \(x^2 + ax + a^2 - 6 \neq 0\) .