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Sabendo que \(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 2196\), calcule o valor minimo do produto \(a \cdot b\)

isso é equivalente a

\(b^2+a^2=2196(ab)^2\)

\(ab=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2196}}\)

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João Pimentel Ferreira
 
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Trata-se de um simples problema de optimização... Sob a hipótese de a,b não se anularem temos

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}= 2196 \Leftrightarrow a^2 = \frac{1}{2196-\frac{1}{b^2}}\Leftrightarrow a = \pm \sqrt{\frac{b^2}{2196 b^2 -1}}\)

Supondo, sem perda de generalidade, que \(a >0\), queremos minimizar a função

\(f(b) = b \sqrt{\frac{b^2}{2196 b^2 -1}}\)

Tendo em conta que esta função não é limitada inferiormente, o problema proposto não tem solução... ou podemos dizer que o valor mímino será \(- \infty\)

Po galera obrigado pelas respostas mas segundo gabarito da lista de exercício a resposta é : a·b = 1/1098.
HELP PLEASE !!!!

hmmalafaia,

Ou o gabarito está ERRADO ou voçê não colocou toda a informação. Repare por exemplo que se considerar

\(a = \frac{1}{\sqrt{1098}}, \qquad b = - \frac{1}{\sqrt{1098}}\)

é verificada a restrição proposta e tem-se \(ab = -\frac{1}{1098}\). Vemos assim, sem sombra de dúvida, que 1/1098 não é o valor mínimo do produto a b.

Agora, se voçê tiver deixado de lado alguma informação, por exemplo se a e b tiverem que ser positivos, o gabarito já estaria correcto.