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Marcos Paulo Gabler
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Boa noite senhores,

Gostaria de uma ajuda com a questão abaixo ou pelo menos de uma indicação da matéria matemática que poderia estudar para chegar na resolução deste problema.

No mais, fico agradecido.


De um barril que continha, inicialmente, V litros de água, Maria efetuou uma sequência de 6 retiradas de água. Para cada J ∈ {1,2,...,6} , na j-ésima retirada, Maria retirou 1/(J+2) do volume de água contido no barril antes da j-ésima retirada. Após as 6 retiradas, o volume de água no barril, em litros, ficou sendo igual a:

A) 7/V
B) 6/V
C) 5/V
D) 4/V
E) 3/V
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João P. Ferreira
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Use LaTex para as fórmulas por favor (regra 4)

Trata-se de um somatório

se a cada iteração \(j\) a Maria tira \(\frac{1}{j+2}\), o que quer achar é a soma de todas as retiradas.

Depois é só fazer a subtração entre o que tinha inicialmente, V, e essa soma.

\(x=V-\sum_{j=1}^6 \frac{1}{j+2}\)

\(x=V-\left(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{2+2}+\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+2}+\frac{1}{5+2}+\frac{1}{6+2}\right)=...\)

avance...

dúvidas diga

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João Pimentel Ferreira
 
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Baltuilhe
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Use LaTex para as fórmulas por favor (regra 4)

Trata-se de um somatório

se a cada iteração \(j\) a Maria tira \(\frac{1}{j+2}\), o que quer achar é a soma de todas as retiradas.

Depois é só fazer a subtração entre o que tinha inicialmente, V, e essa soma.

\(x=V-\sum_{j=1}^6 \frac{1}{j+2}\)

\(x=V-\left(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{2+2}+\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+2}+\frac{1}{5+2}+\frac{1}{6+2}\right)=...\)

avance...

dúvidas diga


João, boa noite!

Desculpe-me se estiver equivocado, mas entendi de forma diferente o enunciado.
Quando disse que retirou \(1/(j+2)\) do volume de água contido no barril antes da j-ésima retirada, não seria da seguinte forma:
\(V_final=V(1-\frac{1}{1+2})(1-\frac{1}{2+2})(1-\frac{1}{3+2})(1-\frac{1}{4+2})(1-\frac{1}{5+2})(1-\frac{1}{6+2})
V_final=V(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{6})(1-\frac{1}{7})(1-\frac{1}{8})
V_final=V(\frac{2}{3})(\frac{3}{4})(\frac{4}{5})(\frac{5}{6})(\frac{6}{7})(\frac{7}{8})
V_final=V(\frac{2}{8})
V_final=(\frac{1}{4})V=\frac{V}{4}\)

Acho que as respostas podem estar erradas... mas eu posso estar errado também! :)

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Marcos Paulo Gabler
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Trata-se de um somatório

se a cada iteração \(j\) a Maria tira \(\frac{1}{j+2}\), o que quer achar é a soma de todas as retiradas.

Depois é só fazer a subtração entre o que tinha inicialmente, V, e essa soma.

\(x=V-\sum_{j=1}^6 \frac{1}{j+2}\)

\(x=V-\left(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{2+2}+\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+2}+\frac{1}{5+2}+\frac{1}{6+2}\right)=...\)

avance...

dúvidas diga


Bom dia João,

Agradecido pela resposta, mas qual propriedade do somatório poderia utilizar para resolver esta questão? Tentei fazer o MMC e simplificar porém não cheguei na resposta.

Obrigado desde já.
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Marcos Paulo Gabler
MensagemEnviado: 29 jan 2015, 15:10 
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se a cada iteração \(j\) a Maria tira \(\frac{1}{j+2}\), o que quer achar é a soma de todas as retiradas.

Depois é só fazer a subtração entre o que tinha inicialmente, V, e essa soma.

\(x=V-\sum_{j=1}^6 \frac{1}{j+2}\)

\(x=V-\left(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{2+2}+\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+2}+\frac{1}{5+2}+\frac{1}{6+2}\right)=...\)

avance...

dúvidas diga


João, boa noite!

Desculpe-me se estiver equivocado, mas entendi de forma diferente o enunciado.
Quando disse que retirou \(1/(j+2)\) do volume de água contido no barril antes da j-ésima retirada, não seria da seguinte forma:
\(V_final=V[tex](1-\frac{1}{1+2})\)
(1-\frac{1}{2+2})(1-\frac{1}{3+2})(1-\frac{1}{4+2})(1-\frac{1}{5+2})(1-\frac{1}{6+2})
V_final=V(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{6})(1-\frac{1}{7})(1-\frac{1}{8})
V_final=V(\frac{2}{3})(\frac{3}{4})(\frac{4}{5})(\frac{5}{6})(\frac{6}{7})(\frac{7}{8})
V_final=V(\frac{2}{8})
V_final=(\frac{1}{4})V=\frac{V}{4}[/tex]

Acho que as respostas podem estar erradas... mas eu posso estar errado também! :)



Bom dia Batuilhe,

Obrigado pela resposta, mas me tire uma dúvida: Por que você decresce 1 do fator de retiradas?

Conforme: (1-\frac{1}{1+2}), e assim sucessivamente.

No mais, agradeço.
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Baltuilhe
MensagemEnviado: 29 jan 2015, 17:11 
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Depois é só fazer a subtração entre o que tinha inicialmente, V, e essa soma.

\(x=V-\sum_{j=1}^6 \frac{1}{j+2}\)

\(x=V-\left(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{2+2}+\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+2}+\frac{1}{5+2}+\frac{1}{6+2}\right)=...\)

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João, boa noite!

Desculpe-me se estiver equivocado, mas entendi de forma diferente o enunciado.
Quando disse que retirou \(1/(j+2)\) do volume de água contido no barril antes da j-ésima retirada, não seria da seguinte forma:
\(V_final=V[tex](1-\frac{1}{1+2})\)
(1-\frac{1}{2+2})(1-\frac{1}{3+2})(1-\frac{1}{4+2})(1-\frac{1}{5+2})(1-\frac{1}{6+2})
V_final=V(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{6})(1-\frac{1}{7})(1-\frac{1}{8})
V_final=V(\frac{2}{3})(\frac{3}{4})(\frac{4}{5})(\frac{5}{6})(\frac{6}{7})(\frac{7}{8})
V_final=V(\frac{2}{8})
V_final=(\frac{1}{4})V=\frac{V}{4}[/tex]

Acho que as respostas podem estar erradas... mas eu posso estar errado também! :)



Bom dia Batuilhe,

Obrigado pela resposta, mas me tire uma dúvida: Por que você decresce 1 do fator de retiradas?

Conforme: (1-\frac{1}{1+2}), e assim sucessivamente.

No mais, agradeço.


Marcos, boa tarde!

O raciocínio que usei foi o de subtrair do valor original anterior. Assim:
\(V_{inicial} = V_0\)

Após a primeira retirada temos o novo volume:
\(V_1=V_0- \frac{1}{3}V_0
V_1=V_0 \left (1-\frac{1}{3} \right)
V_1=V_0 \left (\frac{2}{3} \right)\)

Após a segunda retirada temos o novo volume:
\(V_2=V_1- \frac{1}{4}V_1
V_2=V_1 \left (1-\frac{1}{4} \right )
V_2=V_1 \left (\frac{3}{4} \right )
V_2=V_0 \left (\frac{2}{3} \right ) \left (\frac{3}{4} \right)\)

E, assim, sucessivamente, chega-se a
\(V_final=V(\frac{2}{3})(\frac{3}{4})(\frac{4}{5})(\frac{5}{6})(\frac{6}{7})(\frac{7}{8})
V_final=V(\frac{2}{8})
V_final=(\frac{1}{4})V=\frac{V}{4}\)

Espero ter ajudado!

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João P. Ferreira
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\(x=V-\sum_{j=1}^6 \frac{1}{j+2}\)

\(x=V-\left(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{2+2}+\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+2}+\frac{1}{5+2}+\frac{1}{6+2}\right)=...\)

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João, boa noite!

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\(V_final=V(1-\frac{1}{1+2})(1-\frac{1}{2+2})(1-\frac{1}{3+2})(1-\frac{1}{4+2})(1-\frac{1}{5+2})(1-\frac{1}{6+2})
V_final=V(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{6})(1-\frac{1}{7})(1-\frac{1}{8})
V_final=V(\frac{2}{3})(\frac{3}{4})(\frac{4}{5})(\frac{5}{6})(\frac{6}{7})(\frac{7}{8})
V_final=V(\frac{2}{8})
V_final=(\frac{1}{4})V=\frac{V}{4}\)

Acho que as respostas podem estar erradas... mas eu posso estar errado também! :)


tem toda a razão caro Baltuilhe, interpretei mal o enunciado

muito obrigado pela correção :)

saudações matemáticas

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Obrigado Joao e Batuilhe pelas respostas.

Batuilhe pude entender o seu racíocionio agora, além do mais a sua resposta vai ao encontro à resposta do gabarito.

Agradeço ao senhores pela ajuda! ;)
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