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Considere a equação (na incognita x) x² - 6mx + m² = 0, com m diferente de 0 (o sinal de igual cortado.

a) mostre que ele tem sempre duas raizes reais
b) calcula a soma e o produto das raizes
c) calcule a soma dos quadrados das raizes
d) calcule a soma dos inversos dos quadrados das raizes (1/p² + 1/q²)
e) calcule a soma dos inversos dos cubos das raizes

Boa tarde!

a)
Para ter duas raízes reais tem de ter Delta positivo.
\(\Delta=(-6m)^2-4(1)(m^2)
\Delta=36m^2-4m^2
\Delta=32m^2\)

Como o valor de m ao quadrado sempre retorna um número positivo, e m é diferente de zero temos que delta é sempre positivo, confirmando a equação do segundo grau sempre possuir duas raízes reais.

b)
Uma equação do segundo grau pode ser escrita da seguinte forma:
x² - Sx + P = 0, onde S é a soma das raízes e P é o produto das raízes.
Então, para a equação dada, temos:
Soma=6m
Produto=m²

c)
Soma do quadrado das raízes:
Sendo p e q as raízes, pede-se:
\(p^2+q^2\)

Temos:
\(p+q=6m\) (1)
\(p.q=m^2\) (2)

Elevando a equação (1) ao quadrado em ambos os lados:
\((p+q)^2=(6m)^2
p^2+2pq+q^2=36m^2\)

Agora, substituindo no produto ab o valor da equação (2):
\(p^2+2(m^2)+q^2=36m^2
p^2+q^2=36m^2-2m^2
p^2+q^2=34m^2\)

d)
Soma dos inversos dos quadrados das raízes;
\(\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}=\frac{q^2+p^2}{p^2q^2}=
\frac{34m^2}{(m^2)^2}=\frac{34m^2}{m^4}=\frac{34}{m^2}\)

e)
Soma dos inversos dos cubos das raízes:
\(p+q=6m\)

Elevando ao cubo ambos os lados:
\((p+q)^3=(6m)^3
p^3+3p^2q+3pq^2+q^3=216m^3
p^3+q^3+3pq(p+q)=216m^3
p^3+q^3+3m^2(6m)=216m^3
p^3+q^3+18m^3=216m^3
p^3+q^3=216m^3-18m^3
p^3+q^3=198m^3\)

Agora, só calcular o que se pede:
\(\frac{1}{p^3}+\frac{1}{q^3}=\frac{q^3+p^3}{p^3q^3}=
\frac{q^3+p^3}{(pq)^3}=\frac{198m^3}{(m^2)^3}=\frac{198}{m^3}\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles