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Uma maneira elementar (sem recorrer a grandes teorias) de resolver seria a seguinte. Comece por aproximar por defeito a quantia pretendida usando apenas notas de $13, ou seja, fazendo a divisão inteira de 86 por 13 que dá 6 resto 8. Tem então a quantia de $78 em seis notas de $13. Pode agora juntar uma nota de $7 para chegar ao valor $85 e acrescentar o $1 que falta trocando uma nota de $13 por duas de $7. Tem então $86 em 5 notas de $13 e 3 notas de $7.
Para obter um outro arranjo de notas com o mesmo valor tiria que trocar 7k notas de $13 por 13k notas $7 ou vice-versa (onde k é um número inteiro). Isto porque, sendo 7 e 13 primos, a equação 13x+7y=0 tem como conjunto solução {x=7k e y=-13k ; k inteiro}. Deste modo, 86=5x13+3x7 é a única solução números não negativos de notas de $13 e $7 (não podemos nem substituir 7 notas de $13 por 13 notas de $7 nem o contrário).
No caso da alínea b) podemos usar o mesmo raciocínio para mostrar que não há solução. Uma vez que 45=(-3)x13+12x7, para tomar um número positivo de notas de $13 tiriamos sempre que considerar um número negativo de notas de $7. De uma forma formal o que se está a afirmar é que os valores* x=-3+7k e y=12-13k não podem ser simultaneamente não-negativos para qualquer k inteiro.
* Estes valores não são mais que a solução geral da equação 45=13x+7y com x,y inteiros.
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