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MensagemEnviado: 16 Oct 2014, 22:13 
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Olá, bom dia

eis o que quero saber, descobri que um número múltiplo de 11 tem a diferença da soma de seus algorismos ímpares e pares iguais a um número múltiplo de 11.
Eu estudei isto e tentei descobrir a relação que pode existir em um número múltiplo de 11 que permita que tal coisa aconteça. Descobri que tudo é perfeitamente ligado e conectado entre si. Tomemos como exemplo este número:8283 que é a soma dos números que são múltiplos de 11 somados entre si , estes números são: 7700 + 550 + 33. Todos múltiplos de 11, e que somados dão como resultado um número múltiplo de 11 que é o 8283.
se 8283 for divisível por 11, e é ele é a soma de tudo isto. se um dos números da soma anterior não fosse múltiplo de 11, talvez não tivéssímos o 3 como último algarismo, ou o 8 como algarismo das dezenas. o 3 das unidades veio da multiplicação de 11 por 3, o 8 das dezenas veio do 7700 + 550 + 33 pois sem o 7700 o 8 não ocuparia a casa das dezenas. o 2 das centenas veio por conta do 7700+550 e e o 8 das milhares também. O que quero dizer com tudo isto é que se não tivermos um número múltiplo de 11 nisto, simplesmente não teremos um número múltiplo de 11. Tudo é conectado de uma forma que se algo mudar não teríamos o 8283 ou até mesmo um número não divísivel por 11. Mas o que eu quero entender é porque isto acontece, acho que fui bem específico em dizer o que notei, então tenho certeza que podem me dizer o que não notei.

perguntas

Eu quero entender a relação de numerais que pode existir para que isso sempre aconteça, isto é, encontrar o número divísivel por 11.


mais uma pergunta, porque isto acontece apenas com o 11? tentei com o 3 e o 9 mas não obtive resultados satisfatórios ,por que motivo isso só da certo no 11? e porque não com outro número ? há algum outro número que possa substituir o 11 nesta situação?

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Apesar de ter dado alguns minutos de entretenimento para o leitor, eu quero fazer uma outra pergunta. que vai me ajudar bastante, me refiro a resposta é claro.
O outro método é o seguinte: ''soma dos algarismos de posições pares e a soma dos algarismos de posições ímpares tiverem o mesmo resto da divisão por onze, então o número tomado é divisível por onze.''

Porque sempre teremos o resto igual se o número for divisível por 11?


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MensagemEnviado: 18 Oct 2014, 03:13 
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Boa noite. Para entender isto você deveria estudar um pouco de Teoria dos Números. Seja \(P(10)=\sum_{k=0}^{m}a_kx^k\) a expansão decimal de um inteiro positivo \(N\). Como \(10\equiv -1(mod11)\), segue que \(P(10)\equiv P(-1)(mod 11)\) (este passo mereceria uma justificação adicional, mas decorre de um teorema). Mas \(P(10)=N\) e \(P(-1)=a_0-a_1+a_2-...+(-1)^ma_m=T\). Logo \(N\equiv T(mod11)\). Ou seja, \(N\) é divisível por 11 se \(T\) é divisível por 11.


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MensagemEnviado: 18 Oct 2014, 11:59 
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Walter R Escreveu:
Boa noite. Para entender isto você deveria estudar um pouco de Teoria dos Números. Seja \(P(10)=\sum_{k=0}^{m}a_kx^k\) a expansão decimal de um inteiro positivo \(N\). Como \(10\equiv -1(mod11)\), segue que \(P(10)\equiv P(-1)(mod 11)\) (este passo mereceria uma justificação adicional, mas decorre de um teorema). Mas \(P(10)=N\) e \(P(-1)=a_0-a_1+a_2-...+(-1)^ma_m=T\). Logo \(N\equiv T(mod11)\). Ou seja, \(N\) é divisível por 11 se \(T\) é divisível por 11.


sério? estou na quinta série, não vou estudar teoria dos números até alguns anos. Eu li esse critério de divisibilidade e fiquei maravilhado porque realmente acontece, e quis entender. Mas você escreveu que para entender isto ''eu deveria estudar um pouco de Teoria dos Números''. acho que entendi. não a fórmula obviamente, mas sei que para entender completamente esse critério de divisibilidade devo estudar teoria dos números. Mas de forma simples, você pode explicar para um aluno da quinta série porque isto acontece? mesmo que seja uma pequena olhada, eu quero ver . Juro que depois disto, irei continuar com os meus estudos. acho que isto pode ser um incentivo.

Einstein dizia que “se você não pode explicar algo para uma criança de 6 anos, então nem você entende aquilo.''
me explique como se eu tivesse 5 anos.


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MensagemEnviado: 18 Oct 2014, 14:40 
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Comece por perceber o seguinte: quando dividimos um número inteiro (n) por outro (p),o resto é sempre um número menor do que (p). Assim: se dividirmos 7 por 3, teremos: 7=(2)(3)+1. Se dividirmos 20 por 3: 20=(6)(3)+2. Se dividirmos 18 por 3: 18=(6)(3)+0. Qualquer que seja o inteiro que dividamos por três, existem então 3 possibilidades para o resto: 0, 1 ou 2. Perceba ainda que um número n é divisível por outro número p quando existe um inteiro qualquer k tal que n=kp. Assim, 10 é divisível por 2, porque 10=(5)(2). Note então que 7-1=(2)(3),ou seja, 7-1 é divisível por 3, assim como 20-2 é divisível por 3. Dizemos que um número x é "congruente a outro número y , módulo n " e escrevemos \(x\equiv y(mod n)\)quando x-y é divisível por n, ou seja x-y=kn,para algum k. Então, podemos escrever que \(7\equiv 1(mod 3)\), pois 7-1 é divisível por 3, \(15\equiv 1(mod 7)\) pois 15-1 é divisível por 7, \(10\equiv -1(mod 11)\), pois 10-(-1) =11 é divisível por 11. Isto é a base para a teoria da divisibilidade. Faça inúmeros exercícios e tente se convencer disso tudo.


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MensagemEnviado: 19 Oct 2014, 00:25 
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Eu não sei o que você pretendeu mostrar, de qualquer forma achei muito interessante. A quantidade de restos possíveis ? iguais ao próprio divisor. Restos de 3? 3
restos de 4 ? 4 restos de 11? 11. Simplesmente magnífico ! < sei que citei apenas isto, mas é de fato o que achei mais lindo, entendi todo o resto o quanto pude, e a base da divisibilidade creio não ter entendido completamente, mas ainda estou na quinta série, sem pressa. Tenho certeza que um dia entenderei, obrigado pela resposta. Irei agora me concentrar em meu algoritmo de multiplicação. Até mais !


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