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Prove por indução que: 9 + 15 + 21+ 27 + ... + (6n +3) = n(3n +6), ∀n∈|ℕ, n 1.

Olá!!

Com uma indução em \(n\), de início, devemos verificar se a fórmula é válida para \(n = 1\) - elemento mínimo.

\(\sum_{j = 1}^{n} 6n + 3 = n(3n + 6)\)

\(6 \cdot 1 + {3} = {1} \cdot (3 \cdot {1} + {6})\)

\(6 + {3} = {3} + {6}\)

\(9 = {9}, \ \ \text{verdadeira}.\)

Supomos que a fórmula seja verdadeira para \(n = k\), então pelo princípio da indução será também verdadeira para \(n = k + 1\).

Hipótese de indução: \(\sum_{j = 1}^{k} 6k + 3 = k(3k + 6)\).

Tese de indução: \(\sum_{j = 1}^{k + 1} 6k + 3 = (k + 1)(3k + 9)\).

A partir da hipótese,

\(\\ \sum_{j = 1}^{k} 6k + 3 = k(3k + 6)\)

\(6(k + 1) + 3 + \sum_{j = 1}^{k} 6k + 3 = 6(k + 1) + 3 + k(3k + 6)\)

\(\sum_{j = 1}^{k + 1} 6k + 3 = 6k + 6 + 3 + 3k^2 + 6k\)

\(\sum_{j = 1}^{k + 1} 6k + 3 = 3k^2 + 12k + 9\)

\(\sum_{j = 1}^{k + 1} 6k + {3} = 3(k^2 + 4k + {3})\)

\(\sum_{j = 1}^{k + 1} 6k + {3} = 3(k + {3})(k + {1})\)

\(\sum_{j = 1}^{k + 1} 6k + 3 = (3k + 9)(k + 1)\)

Que é a tese de indução. CQD.

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Daniel Ferreira
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RESPONDA A QUEM PRECISA}

N(3n+6)= 1(3.1+6) = 1.9 = 9
9+15+21+27+...+(6k+3) + (6(k + 1) + 3) = (k + 1) (3(k + 1) + 6)
9+15+21+...+(6k+3) + (6k + 9) = K(3k + 6) + (6k + 9) = 3K^2 + 5K + 6K + 9 = 3k^2 + 11k + 9
(k + 1)(3(k + 1) + 6) = (k + 1)(3k + 9) = 3k^2 + 9k + 3k +9 = 2K^2 +11K + 9