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Essa é de que assunto?
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Autor:  hericksonsa [ 26 mar 2017, 00:58 ]
Título da Pergunta:  Essa é de que assunto?
Olá, essa questão é de qual assunto? Como resolvê -la? Tem mais questões desse tipo? Obrigado.

Questão : "Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-las de em 3 em 3 de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas. Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um máximo de 100 lâmpadas."
Autor:  acacio [ 26 mar 2017, 01:37 ]
Título da Pergunta:  Re: Essa é de que assunto?
Essa questão pode ser resolvida usando teoria dos números.
Primeiramente calculemos os múltiplos de 7 até 100, então
{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98} soma esse conjunto por 1, temos então
{8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, 78, 85, 92, 99} excluindo os números que dividindo por 3 deixa resto 0, temos
{8, 22, 29, 43, 50, 64, 71, 85, 92, } excluindo os números que dividindo por 3 deixa resto 1, temos
{8, 29, 50, 71, 92, } considerando os números que dividindo por 5 deixa resto 2, temos
{92}=Solução
Autor:  hericksonsa [ 26 mar 2017, 04:26 ]
Título da Pergunta:  Re: Essa é de que assunto?
Muito obrigado mesmo. Mas por acaso não existe alguma fórmula para resolver mais rápida a questão. Estou estudando para concurso, então quanto mais rápido for feita a questão melhor. De todo modo, agradeço imensamente sua colaboração. Abraço
Autor:  acacio [ 26 mar 2017, 04:44 ]
Título da Pergunta:  Re: Essa é de que assunto?
Existe, usando teorema chinês dos resto que já é teoria dos números, que vemos no começo da graduação de matemática, desse jeito foi o jeito mais elementar que encontrei.
Autor:  jorgeluis [ 26 mar 2017, 05:47 ]
Título da Pergunta:  Re: Essa é de que assunto?
\(\frac{x-2}{3\times5}=\frac{x-1}{7}-7k\)
\(k\in \mathbb{Z}_{+}^{*}
\frac{x-2}{15}=\frac{x-1-49k}{7}
15x-15-735k=7x-14
8x=1+735k\)

p/ k=1, temos:

\(x=\frac{736}{8}
x=92\)
Autor:  pedrodaniel10 [ 26 mar 2017, 15:04 ]
Título da Pergunta:  Re: Essa é de que assunto?
Como o usuário acacio disse, o teorema chinês do resto é o método mais eficaz para este tipo de problemas que se resume a resolver este tipo de sistemas:

Seja x o número de lâmpadas na caixa.

\(\left\{\begin{matrix} x\equiv _3 2\\ x\equiv _5 2\\ x\equiv _7 1 \end{matrix}\right.
M=3\times 5\times 7=105
c_1=2 \; \; n_1=\frac{M}{3}=35 \; \; n_1\times \widetilde{n}_1\equiv _31\Leftrightarrow 35\times \widetilde{n}_1\equiv _31\Leftrightarrow 2\times \widetilde{n}_1\equiv _31\Leftrightarrow \widetilde{n}_1=2
c_2=2 \; \; n_2=\frac{M}{5}=21 \; \; n_2\times \widetilde{n}_2\equiv _5 1\Leftrightarrow 21\times \widetilde{n}_2\equiv _5 1\Leftrightarrow 1\times \widetilde{n}_2\equiv _51\Leftrightarrow \widetilde{n}_2=1
c_3=1 \; \; n_3=\frac{M}{7}=15 \; \; n_3\times \widetilde{n}_3\equiv _7 1\Leftrightarrow 15\times \widetilde{n}_3\equiv _7 1\Leftrightarrow 1\times \widetilde{n}_3\equiv _71\Leftrightarrow \widetilde{n}_3=1
x_0=c_1\times n_1 \times \widetilde{n}_1+c_2\times n_2 \times \widetilde{n}_2+c_3\times n_3 \times \widetilde{n}_3=2\times 35 \times 2+2\times 21 \times 1+1\times 15 \times 1=197
x=Mt+x_0=105t+197,\: t\in \mathbb{Z}\)

Como 197 é maior que 105 é possivel fazer uma translação da reta de forma que para t=0 tenhamos o menor valor positivo. Ora se \(t=t-1\) temos:
\(x=105t+92\)
E para t=0 temos x=92 que é o menor número positivo que satisfaz o sistema.

Obs: Este método, desta forma, só funciona para módulos que são coprimos entre si. E por notação \(x\equiv _mr\) significa que o resto da divisão de x por m é r.
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