Produtos notáveis diferença de números cubos

[Gabriela Amaral]

A diferença dos cubos de dois números naturais consecutivos é 91. Esses números pertencem a qual alternativa? Justifique.

a) { n € IN : -7 ≤ n ≤ 3 }
b) { n € IN : 3 < n ≤ 7 }
c) { n € IN : 7 < n ≤ 10 }
d) { n € IN : n > 7 }

[Rui Carpentier]

Se os números naturais forem n e n+1, então temos, usando o binómio de Newton, que \((n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1=91\). Como \(3n^2+3n+1=91\Leftrightarrow n(n+1)=30=5\times 6\) temos que n=5 e n+1=6. A opção correta é a alínea b.

PS- como o enunciado refere números naturais podemos assumir que n é não-negativo e neste caso a equação quadrática n(n+1)=30 tem uma única solução não negativa n=5 (a outra solução seria n=-6).