Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=71&t=12619 |
Página 1 de 2 |
Autor: | arturlirasantos [ 21 abr 2017, 16:18 ] |
Título da Pergunta: | Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Olá, sou novato aqui, espero ter perguntado na categoria certa. Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? Ou seja, por que (1+a)^k > = (1+ka)? Sendo k um natural, e a um real >= -1 Vi isto em Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 1, Questão 113. |
Autor: | Sobolev [ 21 abr 2017, 16:43 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Pode usar a fórmula de Taylor em trono do ponto zero... definindo \(f(a)=(1+a)^k\), tem que \(f(a) = f(0) + f'(0) a + \frac{f''(\xi)}{2} a^2\) Como neste caso temos \(f(0)=1, f'(0) = k\) e \(f''(\xi) \ge 0\) vem que \((1+a)^k = 1 + ka + \frac{f''(\xi)}{2} a ^2 \ge 1+ ka\) |
Autor: | arturlirasantos [ 21 abr 2017, 21:04 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Obrigado, Sobolev! Muito interessante a explicação usando série de Taylor, mas será que há uma explicação usando apenas regras de aritmética sem uso de derivadas, fácil para a compreensão de alunos de nível médio? |
Autor: | RegisCortes [ 23 abr 2017, 18:10 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
No enunciado temos: Sendo k um natural, e a um real >= -1 Substituindo valores aritmeticamente comprovamos a inigualdade : k=2 e a=3 (1+3)^2 *(1+3) >= (1+2*3)(1+3) 16*4 >= 7*4 |
Autor: | arturlirasantos [ 23 abr 2017, 18:32 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Como seria a demonstração/prova disso? |
Autor: | RegisCortes [ 23 abr 2017, 23:15 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Sendo k um natural, e a um real >= -1 (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a) Se a é diferente de -1 podemos passar a expressão (1+a) dividindo. Cancelando dos dois lados Ficamos com: (1+a)^k >= (1 +ka) Para todo k um natural, e a um real >= -1 temos a prova substituindo valores |
Autor: | Sobolev [ 24 abr 2017, 08:14 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Substituir valores não prova nada... É como encontrar um cão castanho e pensar que isso prova que todos os cães são castanhos. Substituir valores apenas pode constituir uma prova se contrariar a hipótese, provando que esta é falsa. |
Autor: | RegisCortes [ 24 abr 2017, 12:03 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Verdade, porém a fórmula de Taylor apenas permite o cálculo do valor de uma função por aproximação mas não faz a demonstração. |
Autor: | Sobolev [ 24 abr 2017, 12:16 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
A fórmula de Taylor inclui um termo designado por RESTO. Quando inclui o resto, a fórmula é EXACTA. Neste caso é precisamente o que se passa, a seguinte relação é verificada exactamente: \((1+a)^k = 1+ka + \frac{f''(\xi)}{2!} a^2 \qquad (1)\) em que \(\xi\), que depende de a, é um ponto (desconhecido) no intervalo \(]0,a[\). No entanto, como \(f'' \ge 0\) e \(a^2 \ge 0\), sabemos que \(\frac{f''(\xi)}{2!} a^2 \ge 0\), seja qual for o valor de \(\xi\). Desse modo, eliminando esse termo na igualdade (1), obtemos a desigualdade pretendida. Não há qualquer tipo de aproximação, fica realmente demonstrada a desigualdade. |
Autor: | RegisCortes [ 24 abr 2017, 12:49 ] |
Título da Pergunta: | Re: Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)? |
Estamos discutindo coisas diferentes. O Artur pediu uma demonstração aritmética e mesmo que tenhamos resto, ainda assim ela é uma demonstração algébrica. O mais próximo que podemos chegar da aritmética é usando as substituições valores numéricos (cães castanhos). |
Página 1 de 2 | Os Horários são TMG [ DST ] |
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |