Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)?

[arturlirasantos]

Olá, sou novato aqui, espero ter perguntado na categoria certa.

Por que (1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)?

Ou seja, por que (1+a)^k > = (1+ka)?

Sendo k um natural, e a um real >= -1
Vi isto em Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 1, Questão 113.

[Sobolev]

Pode usar a fórmula de Taylor em trono do ponto zero... definindo \(f(a)=(1+a)^k\), tem que

\(f(a) = f(0) + f'(0) a + \frac{f''(\xi)}{2} a^2\)

Como neste caso temos \(f(0)=1, f'(0) = k\) e \(f''(\xi) \ge 0\) vem que

\((1+a)^k = 1 + ka + \frac{f''(\xi)}{2} a ^2 \ge 1+ ka\)

[arturlirasantos]

Obrigado, Sobolev! Muito interessante a explicação usando série de Taylor, mas será que há uma explicação usando apenas regras de aritmética sem uso de derivadas, fácil para a compreensão de alunos de nível médio?

[RegisCortes]

No enunciado temos: Sendo k um natural, e a um real >= -1
Substituindo valores aritmeticamente comprovamos a inigualdade :
k=2 e a=3
(1+3)^2 *(1+3) >= (1+2*3)(1+3)
16*4 >= 7*4

[arturlirasantos]

Como seria a demonstração/prova disso?

[RegisCortes]

Sendo k um natural, e a um real >= -1

(1+a)^k * (1+a) >= (1 +ka)(1+a)

Se a é diferente de -1 podemos passar a expressão (1+a) dividindo. Cancelando dos dois lados
Ficamos com:
(1+a)^k >= (1 +ka)
Para todo k um natural, e a um real >= -1 temos a prova substituindo valores

[Sobolev]

Substituir valores não prova nada... É como encontrar um cão castanho e pensar que isso prova que todos os cães são castanhos. Substituir valores apenas pode constituir uma prova se contrariar a hipótese, provando que esta é falsa.

[RegisCortes]

Verdade, porém a fórmula de Taylor apenas permite o cálculo do valor de uma função por aproximação mas não faz a demonstração.

[Sobolev]

A fórmula de Taylor inclui um termo designado por RESTO. Quando inclui o resto, a fórmula é EXACTA. Neste caso é precisamente o que se passa, a seguinte relação é verificada exactamente:

\((1+a)^k = 1+ka + \frac{f''(\xi)}{2!} a^2 \qquad (1)\)

em que \(\xi\), que depende de a, é um ponto (desconhecido) no intervalo \(]0,a[\). No entanto, como \(f'' \ge 0\) e \(a^2 \ge 0\), sabemos que \(\frac{f''(\xi)}{2!} a^2 \ge 0\), seja qual for o valor de \(\xi\). Desse modo, eliminando esse termo na igualdade (1), obtemos a desigualdade pretendida. Não há qualquer tipo de aproximação, fica realmente demonstrada a desigualdade.

[RegisCortes]

Estamos discutindo coisas diferentes. O Artur pediu uma demonstração aritmética e mesmo que tenhamos resto, ainda assim ela é uma demonstração algébrica. O mais próximo que podemos chegar da aritmética é usando as substituições valores numéricos (cães castanhos).