Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

O número \(\sqrt{0,9999\dots }\) é irracional ? .

Tentativa (1) de solução ,

Se \(\theta = 0,9999\dots\) então \(10^4 \theta = 9999,9999\dots \implies \theta(10^4 - 1) = 9999 \therefore \theta = \frac{9999}{10^4 - 1} = 1\) .

Outra forma de observar é que \(0,9999\dots = 3 (0.3333\dots) = 1\).

Conforme este raciocínio \sqrt{0,9999\dots } não é irracional .

Será que estar certo ?

Santhiago,
outra forma seria por P.G.

\(\begin{cases} a_1 = 0,9 \\ a_2 = 0,09 \\ q = 0,1 \end{cases}\)

A soma dos termos de uma P.G infinita é dada por \(\fbox{S_n = \frac{a_1}{1 - q}}\), então:

\(S_n = \frac{0,9}{1 - 0,1}\)

\(S_n = \frac{0,9}{0,9}\)

\(S_n = 1\)

Então,
\(\\ 0,999... = \\\\ 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... = \\\\ 1\)

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Daniel Ferreira
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Muito obrigado .

Não há de quê!

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Daniel Ferreira
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