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Preciso provar que para qualquer inteiro a, a^3 é congruente a zero, um ou seis (mod7).

Olá boa noite,

Pela congruência (mod 7): \(a = 7q + r\) para \(0 <= r < 7\) e dizemos que \(a\) é côngruo a \(r\) módulo 7 pois ambos deixam o mesmo resto na divisão euclidianda por 7.

Então \(a^3 = (7q + r)^3 = 7^3 . q^3 +3.7^2 . q^2 . r + 3.7.q.r^2 + r^3\)

= \(7 \left[ 7^2 . q^3 + 3.7.q^2 . r + 3.q.r^2 \right] + r^3\) com \(0 <= r^3 < 7\).

Então \(a^3\) é côngruo a \(r^3\) módulo 7, logo deixam o mesmo resto na divisão por 7.

Então os possíveis valores de \(r\) tais que \(a^3\) e \(r^3\) sejam congruentes módulo 7 são: \(0, 1 \text{e} 6\), o que nos leva ao resultado desejado.

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Fraol
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excelente explicação. Obrigado!