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Olá, senhores alguém poderia esclarecer esta dúvida de Aritmética modular para mim? Obrigado.

Sabendo que n é múltiplo de 4, determine o resto da divisão de:

\(1^{n}\hspace{1}+\hspace{1}2^{n}\hspace{1}+\hspace{3}...\hspace{3}+\hspace{1}9^{n}\hspace{5}por\hspace{5}10.\)

Eu tentei dessa forma:

\(<br />1^{n} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 1 (mod\hspace{5}10)<br /> 2^{4} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 6 (mod\hspace{5}10) <br /> (3^{4})^{k} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 1 (mod\hspace{5}10)\Rightarrow 3^{4k} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 1 (mod\hspace{5}10) \Rightarrow 3^{n} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 1 (mod\hspace{5}10) <br /> 4^{2} \hspace{1} \equiv \hspace{1} 6 (mod\hspace{5}10)\)

A partir daí eu fiquei sem ideia...

Pelo teorema de Fermat das congruências:

\(a^{p-1}\equiv 1 (mod p)\) se \(a\not\equiv 0 (mod p)\)

temos que

\(k^4\equiv 1 (mod 5)\) para \(1\leq k\leq 9\) com \(k\not= 5\).

Assim \(1^n+2^n+\dots +9^n\equiv 1+1+1+1+0+1+1+1+1 \equiv 3 (mod 5)\)

Logo \(1^n+2^n+\dots +9^n\equiv 3 \mbox{ ou } 8 (mod 10)\)

Mas como \(1^n+2^n+\dots +9^n\) é ímpar temos necessariamente que
\(1^n+2^n+\dots +9^n\equiv 3 (mod 10)\)

Muito obrigado pela ajuda Rui Carpentier!