provar se existe solução para (x+y)² = x.y

[kyojapanese]

provar que (x+y)² = x.y admite somente solução (x,y)=(0,0)

[Rui Carpentier]

Vejamos da seguinte maneira:
Vamos restringir à condição \(x,y\ge 0\) (é fácil ver que x e y têm de ter o mesmo sinal e que as soluções negativas a existirem são simétricas das positivas).
Sem perda de generalidade podemos supor que \(0\le x\le y\). Assim sendo, \(y\le x+y\) (logo \(y^2\le (x+y)^2\)) e \(xy\le y^2\). Logo a igualdade \((x+y)^2=xy\) implica que \(y^2\le (x+y)^2=xy\le y^2\) o que só é válido se as desigualdades forem igualdades. Ou seja, \(y^2=(x+y)^2\), donde sai x=0, e \(xy=y^2\) o que, com \(x=0\), implica que \(y=0\).

Também se pode resolver assim:
\((x+y)^2=xy \Rightarrow x^2+xy+y^2=0\Rightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=0 \Rightarrow x^3-y^3=0\Rightarrow x=y\)
e \((x+x)=x^2\Rightarrow 4x^2=x^2\Rightarrow x=0\)