Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Seja X um conjunto não vazio e \(f:X\rightarrow X\) uma função injetora tal que \(f\left ( X \right )\neq X\).
Prove que, dado \(x\in X\), os elementos \(f\left ( x \right ), f\left ( f\left ( x \right ) \right ), f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right )... São dois a dois distintos.\)


Não tenho a mínima ideia do que ele quer, muito menos do que é pra fazer. Alguém pra dar uma força?

Como o \(f : X \longrightarrow X\) é injetora e seu domínio não coincide com a imagem , temos X não é finito e \(f\) não é a aplicação identidade \(id_X : X \to X , Id_X(a) = a , \forall a \in X\) . Mesmos com estas hipóteses , pode acontecer o seguinte , um certo ponto \(x_0\) ser ponto fixo de \(f\) , i.e , \(f(x_0) = x_0\) , por conseguinte , todos elementos da lista dada são iguais a \(f(x_0)\) .Vamos expor uma definição .

Dado qualquer conjunto \(A\) não vazio , seja \(g : A \longrightarrow A\) uma função . Defina ,

\(g^0 := id_A\) (onde \(id_A : A \longrightarrow A\) é a função identidade em A )

\(g^n := g \circ g^{n-1}\) .

Lema_1:

Para todos inteiros não negativos \(n , m\) vale o seguinte

\(g^{n+m} = g^n \circ g^m\) .

Fixando arbitrariamente \(n\) pode-se provar por indução sobre \(k\) . (Exercício )

Lema_2 :

Se \(g : A \longrightarrow A\) for injetora então \(g^n : A \longrightarrow A\) também o é para todo \(n \in \mathbb{N}\) (exercício)

Queremos então mostrar que \(\forall x \in X \forall n , m \in \mathbb{N} (f(x) \neq x \wedge n \neq m \rightarrow f^n(x) \neq f^m(x) )\) .

Primeiro tente mostrar o seguinte , se \(x \in X\) é tal que \(f(x) \neq x\) então \(f^n(x) \neq x\) para todo natural n .Conclua então que \(f^n(x) \neq f^m(x) , \forall n , m \in \mathbb{N} , n \neq m\) .

Cara, infelizmente eu não tenho maturidade matemática pra entender isso, to no 1º semestre, mesmo assim vlw pela ajuda. Tenho que sanar dúvidas mais elementares primeiro, por exemplo, se ainda estiver por aí. Não estou conseguindo demonstrar que \(\lim_{x\rightarrow -infinito} \left ( \frac{x}{|x|} \right )= -1\)
Posso usar o seguinte argumento:
\(\frac{x}{|x|}= 1, x>0\) e \(\frac{x}{|x|}=-1, x<0\)
?

Acho que há algo errado com o enunciado . O enunciado deveria ser reformulado do seguinte modo :

Dado um conjunto \(X\) não vazio , seja \(f : X \longrightarrow X\) uma função injetora tal que \(f(X) \neq X\) .Para todo \(x \in f(X)^C := X \setminus f(X)\) os elementos \(x, f(x) = f^1(x) , f(f(x))= (f \circ f)(x) = f^2(x) , \dots , f(f(f(\dots f(x)))) = \underbrace{(f\circ f \dots \circ f )(x) }_{n -\text{vezes}} = f^n(x) , \dots (*)\) são dois a dois distintos .

A condição \(x \neq f(x)\) por sua vez implica \(f^n(x) \neq f^{n+1} (x) \forall n \in \mathbb{N}\) , mas "\(\neq\) " não é transitivo . Daí não dá p/ concluir por exemplo que \(f^n(x) \neq f^{n+2}(x)\) ,pois talvez a igualdade ocorra .

No momento não tenho contraexemplos , pensarei mais sobre isto ...



Mas , se \(x \in f(X)^C\) então os elementos de (*) são dois a dois distintos . De fato , dado \(x\) em \(f(X)^C\) , começamos a provar o caso particular

\(x \neq f^n(x) , \forall n \in \mathbb{N}\) . Se fosse o contrário , teríamos \(x = f^n(x)\) para algum \(x \in f(X)^C\) e \(n \mathbb{N}\) . É claro que \(n > 1\) e assim \(x = f(f^{n-1}(x))\) o que implica que \(x \in f(X)\) , uma contradição . Portanto , \(x \neq f^n(x) , \forall n \in \mathbb{N}\) .

Vamos ao caso geral :

Sejam \(n,m\) números naturais distintos .Sem perda de generalidade , assuma \(n > m\) , segue-se que existe \(p\) natural tal que \(p + m = n\) .

Pelo caso particular acima , \(f^p(x) \neq x , \forall x \in f(X)^C\) .Mas \(f^m\) é injetora (lema 2) , então

\(f^m(f^p(x)) \neq f^m(x)\) .Como \(f^m(f^p(x)) = f^{m+p}(x) = f^n(x)\) ,o caso geral fica demonstrado .

Aqui está o contraexemplo :

Considere \(X = \mathbb{N}\) , vemos que a correspondência

\(1 \mapsto 2\)

\(2 \mapsto 1\)

\(3 \mapsto 4\)

\(4 \mapsto 5\)

\(5 \mapsto 6\)

(...)

ou de forma equivalente \(X \ni n \mapsto \begin{cases} n+1 ; n \neq 2 \\ 1 ; n = 2 \end{cases}\) ,

define uma aplicação \(f : X \longrightarrow X\) . Fácil verificar que tal função é injetora e \(f(X) \neq X\) (pois \(X \ni 3 \notin f(X)\) ) .

Quando \(x= 1\) , a sequência de elementos de X dada , torna-se

\(2,1,2,1,2,1 , \dots\)

E quando x = 2 ,

\(1,2,1,2,1,2,\dots\) .

Quanto a sua última dúvida , basta notar que o quociente \(\frac{x}{|x|} = -1\) sempre que \(x < 0\) , e em particular para valores negativos arbitrariamente grande .