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Dados log 2= 0.30, log 3 = 0.48 e log 5= 0.70. Resolva a equação 5^2x - 7.5^x + 12 = 0

Para resolver esta equação, em primeiro lugar tem que efetuar uma mudança de variável e fazer y=5^x. Nesse caso, a equação fica y²-7y+12=0. Os zeros desta equação são y=4 e y=3.

Voltando então à expressão de y e escrevendo novamente como y=5^x, ficamos com duas equações para resolver, 5^x=4 e 5^x=3. A resolução envolve a utilização de logaritmos, das suas regras de operações e de uma mudança de base (base 5 para base 10, uma vez que os valores dados estão todos na base 10). Segue a resolução:

\(5^{x}=4\vee 5^{x}=3\Leftrightarrow log_{5}5^{x}=log_{5}4\vee log_{5}5^{x}=log_{5}3\Leftrightarrow x=log_{5}4\vee x=log_{5}3\Leftrightarrow x=\frac{log4}{log5}\vee x=\frac{log3}{log5}\Leftrightarrow x=\frac{log2+log2}{log5}\vee x=\frac{0,48}{0,70}\Leftrightarrow x=\frac{0,6}{0,7}\vee x=\frac{24}{35}\Leftrightarrow x=\frac{6}{7}\vee x=\frac{24}{35}\)