Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite estou com muita dificuldade em resolver essas equações, se alguém puder me ajudar...
Se não for pedir muito, no passo a passo... Explicando...
Se não der, só resolvendo eu tento fazer um estudo aprofundado aqui! Obrigado!


\(3^x^+^1 = 4^x^-^1 + 4^x + 4^x^-^3\)

\(2^x^+^3 + 2^x^+^2 + 2^x^+^1 + 50 * 2^x =\frac{5^x^+^1 + 3*5^x}{2}\)

Tenha em conta que

\(3^{x+1}=3\times3^x\)

e

\(4^{x-1} + 4^x + 4^{x-3}=4\times 4^x + 4^x + 4^{-3}\times4^{x}\)

Assim,

\(3\times3^x=4\times 4^x + 4^x + 4^{-3}\times4^{x}\)
\(3\times3^x=(4+1+1/4^3 )\times 4^x\)
\(\frac{3^x}{4^x}=(4+1+1/4^3)/3\)
\((\frac{3}{4})^x=(5+1/64)/3\)
\(x\times ln(\frac{3}{4})=ln((5+1/64)/3)\)
\(x=\frac{ln((5+1/64)/3)}{ln(\frac{3}{4})}\)

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Caro Sr. José de Souza,
encontrei o valor de 'x' sem usar logaritmo natural. Estaria correta esta minha abordagem, ou estou sendo enganado por uma 'feliz' coincidência?

\(3^{(x+1)} = 4^{(x-1)} + 4^x + 4^{(x-3)}\)

\(\frac{3^x \times 3}{1} = \frac{4^x}{4}+\frac{4^x}{1}+\frac{4^x}{4^3}\)

\(4^3 \times 3^x \times 3 = 4^2 \times 4^x+4^3 \times 4^x+4^x\)

\(192 \times 3^x = 16 \times 4^x + 64 \times 4^x+4^x\)

\(192 \times 3^x = 4^x(16+64+1)\)

\(192 \times 3^x = 81 \times 4^x\)

\(\frac{3^x}{4^x}=\frac{81}{192}\)

Assim, x=3

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Está correto e é mais simples

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Não seria x = 4 ?

Além disso, estou com uma dúvida: O valor de x não deveria satisfazer o denominador de base 4? Quando elevamos 4^4 não obtemos o mesmo valor...

Caro Alisson,

realmente as coisas não se encaixam. Eu cometi um erro em algum lugar, que ainda não pude descobrir.

Mas, certamente, a minha resposta está errada, porque, revendo, vi que minha álgebra falhou.

Pondo toda a sentença no Wolfram para uma confrontação, a página disse que 'x' poderia ser aproximadamente 3.

De fato, substituindo x no membro esquerdo por 3, o resultado fica 81.
Do lado direito, 80.

Mas, vou tentar outra abordagem e consertar o algebrismo:

\(3^x^+^1 = 4^x^-^1 + 4^x + 4^x^-^3\)

O grande problema aqui é que estamos comparando nos dois membros bases diferentes. O da esquerda a base é 3; no da direita é 4. Isto foge ao modo convencional de resolver.

Vamos dividir todas as parcelas pela primeira que aparece no segundo membro:

\(\frac{3^{(x+1)}}{4^{(x-1)}} = 1 + \frac{4^{x}}{4^{(x-1)}} + \frac{4^{(x-3)}}{4^{(x-1)}}\)

uma vez que as duas últimas parcelas do segundo membro têm a mesma base 4, podemos fazer a divisão convencional, subtraindo os expoentes e mantendo a base:

\(\frac{3^{(x+1)}}{4^{(x-1)}} = 1 + {4} + \frac{1}{4^{2}}\)

\(\frac{3^{(x+1)}}{4^{(x-1)}} = {5}+ \frac{1}{16}\)

que é o mesmo que

\(\frac{3^{(x+1)}}{4^{(x-1)}} = \frac{80}{16}+ \frac{1}{16}\)

\(\frac{3^{(x+1)}}{4^{(x-1)}} = \frac{81}{16}\)

Agora, pela tradição

\(3^{(x+1)}={81} = 3^{4}\)

e

\(4^{(x-1)}={16}=4^{2}\)

Assim,

\(3^{(x+1)}= 3^{4}\)

e

\(4^{(x-1)}=4^{2}\)

Como em ambos os membros das duas equações apresentam a mesma base, podemos dizer que

\(x+1=4\)

e que

\(x -1=2\)

Em ambos os casos,

x = 3.

Acredito que agora chegamos a uma afirmação válida. Pelo menos é no que acredito.

Abração a todos.

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"