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Alguém poderia ajudar. Desde já fico grato.
Dada a função abaixo
\(f(x) = x^{\frac{2}{logx}}\)
onde 0 < x ≠ 1 então log [f(√3)] é igual a ? (R: 2)

\(x^{\frac{2}{\log x}}= e^{\log x^{\frac{2}{\log x}}} = e^{\frac{2}{\log x} \log x} = e^2\)

Assim, em particular \(f(\sqrt{3}) = e^2\), pelo que \(\log(f(\sqrt{3})) = 2\)

Obrigado Sobolev a atenção mas ainda não entendi muito bem. Tenho dificuldades em alguns conceitos de logaritmo. Poderia esclarecer:
Você diz que\(x^{\frac{2}{logx}} = e^{2}\)
Qual a propriedade utilizada na primeira passagem para o número e?
Se f(x) = \(x^{\frac{2}{logx}}=e^{2}\) então qualquer valor de x daria \(e^{2}\) ?

Para chegar ao resultado 2 você calculou log(f√3) = log \(e^{2}\) = 2 log e = 2?
Mas quando omitimos a base esta não seria 10 ? mas na expressão acima a base teria que ser e para chegarmos ao resultado.

A base dp logaritmo é irrelevante, já que o mesmo desaparece... De qualquer modo, em geral, quando não se coloca a base assume-se que o logaritmo é de base e. Relativamente à simplificação, vamos por partes:

1. A função exponencial e logaritmo são inversas uma da outra, assim é verdade para qualquer número y>0 que \(y = e^{\log y}\).

2. Considerando agora \(y = x^{\frac{2}{\log x}}\), podemos dizer que \(x^{\frac{2}{\log x}} = e^{\log x^{\frac{2}{\log x}}}\)

3. Uma das propriedades do logaritmo é que \(\log u^v = v \log u\). Então
\(\log x^{\frac{2}{\log x}} = \frac{2}{\cancel{\log x}} \cancel{\log x} = 2\)

4. Considerando 2. e 3. temos que \(e^{\log x^{\frac{2}{\log x}}} =e^2\)

5. tomando logaritmos na eq. anterior obtem o resultado pretendido.

Grato, pois estava um pouco confuso em relação as bases. No Brasil é mais corrente, quando omitida, a base ser considerada 10. Para a base e usamos ln ou log(e)x(menos usual). Assim na sua resolução não estava entendendo a utilização da propriedade com bases diferentes(no meu pensamento). Mas agora tudo ficou esclarecido graças as suas explicações.