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Inequação complicada. Onde estão os colaboradores? Sobolev, apareça!
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Autor:  3,14159265 [ 15 fev 2017, 02:58 ]
Título da Pergunta:  Inequação complicada. Onde estão os colaboradores? Sobolev, apareça!
Não consigo provar que essa inequação é válida para todo x>1. Eu já descobri que a resposta está contida em x>1 com um pouco de álgebra e análise de sinais em anexo. Preciso de ajuda!

\(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}>\frac{x-1}{x}\)

Anexo:
Comentário do Ficheiro: Tentativa de resolução
IMAGEM.jpg
IMAGEM.jpg [ 1.89 MiB | Visualizado 3344 vezes ]
Autor:  pedrodaniel10 [ 15 fev 2017, 05:43 ]
Título da Pergunta:  Re: Inequação complicada. Onde estão os colaboradores? Sobolev, apareça!
Tentemos encontrar os pontos onde os gráficos se intersetam:
\(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x}
\sqrt{x^3-x}-\sqrt{x^2-x}=x-1
x^3-x-2\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}+x^2-x=x^2-2x+1
-2\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}=1-x^3
4(x^3-x)(x^2-x)=1-2x^3+x^6
4(x^5-x^4-x^3+x^2)=1-2x^3+x^6
-x^6+4x^5-4x^4-2x^3+4x^2-1=0\)

Pelo teorema das raízes racionais, uma possível raiz é x=1. O que é verdade. Usando a regra de Ruffini.

\((x-1)(-x^5+3x^4-x^3-3x^2+x+1)=0\)

Aplicando novamente o teorema das raízes racionais, x=1 é uma possível raíz. O que se confirma. Usando novamente a regra de Ruffini.

\((x-1)^2(-x^4+2x^3+x^2-2x-1)=0
(x-1)^2(x^4-2x^3-x^2+2x+1)=0\)

Não sei o quão familiarizado está ao trabalhar com polinómios de graus elevados. Mas este polinómio de grau 4 é o quadrado de uma função polinomial de segundo grau.
\(x^4-2x^3-x^2+2x+1=(x^2-x-1)^2\)

Pelo que temos:
\((x-1)^2(x^2-x-1)^2=0\)

E daqui temos as soluções de x:
\(x=1\: \vee \: x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\: \vee \: x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\)

Ao testar as soluções na primeira equação vemos que \(x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\) não é solução da equação. e portanto fica apenas:
\(x=1\: \vee \: x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\)

Agora vendo o sinal para função:
\(f(x)=\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}-\frac{x-1}{x}\)
Para que a inequação se torne verdadeira f tem de tomar valores positivos. Portanto a solução da inequação são todos os pontos onde \(f(x)>0\)

A função está definida em:
\(D_f=\left \{ x\in \mathbb{R}:-1\leq x< 0\: \vee \: x\geq 1 \right \}\)

Pelo que para \(x\in[-1,0[\), f é negativo logo a inequação é falsa neste intervalo.

Para \(x=1\), a função anulasse pelo que a inequação neste ponto é falsa.

Para \(x\in]1,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}[\), f é positivo o que torna a inequação verdadeira neste intervalo.

Para \(x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\), a função anulasse e portanto a inequação neste ponto é falsa.

Para \(x>\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\), a função é sempre positiva.

Desta forma a solução é:
\(1<x<\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\: \: \: \vee \: \: \: x>\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\)
Autor:  3,14159265 [ 15 fev 2017, 06:01 ]
Título da Pergunta:  Re: Inequação complicada. Onde estão os colaboradores? Sobolev, apareça!
Eu tentei igualar as duas equações mas não saí do lugar. Não lembro de ter aprendido o Teorema das Raízes Racionais. Foi bem útil pra reduzi-lo ao quarto grau. Agora ainda fiquei com uma dúvida: como você concluiu que aquele polinômio do quarto grau era aquele de segundo grau ao quadrado?

Muito obrigado, cara. Parabéns pela resolução! Não foi tão fácil quanto eu achei que seria. Será que há outra forma de fazer? Creio que essa questão seja do ensino médio.
Autor:  pedrodaniel10 [ 15 fev 2017, 06:12 ]
Título da Pergunta:  Re: Inequação complicada. Onde estão os colaboradores? Sobolev, apareça!
Prática. Esse polinómio do 4º grau é dos mais conhecidos, porque aparece n vezes neste tipo de problemas. Tal como\(x^4+2x^3+3x^2+2x+1\) ou\(x^4-2x^3+3x^2-2x+1\) que é respetivamente \((x^2+x+1)^2\) e \((x^2-x+1)^2\)
Se há outras formas? Bem provavelmente há. A criatividade não tem limites. E as novas resoluções podem ser mais fáceis ou mais difíceis.
Autor:  3,14159265 [ 15 fev 2017, 06:15 ]
Título da Pergunta:  Re: Inequação complicada. Onde estão os colaboradores? Sobolev, apareça!
Putz.. Aí me complicou! E sem essa prática que você tem, como sair desse passo então? Muito obrigado novamente.
Autor:  pedrodaniel10 [ 15 fev 2017, 20:04 ]
Título da Pergunta:  Re: Inequação complicada. Onde estão os colaboradores? Sobolev, apareça!
Pelo teorema das raízes racionais o polinómio não tem raizes racionais o que não é de grande ajuda. O que pode tentar fazer é procurar por raízes múltiplas. O que na prática é procurar os zeros da derivada e ver se são soluções. Sendo que o polinómio de grau 4 desce para grau 3.

Seja \(f(x)=x^4-2x^3-x^2+2x+1\)

\(f'(x)=4x^3-6x^2-2x+2\)

Procuremos os zeros da derivada. Pelo teorema das raízes racionais as possíveis soluções são:\(\pm 1,\pm 2,\pm \frac{1}{4},\pm \frac{1}{2}\)
Ao testar as possíveis soluções vemos que \(x=\frac{1}{2}\) é raiz do polinómio.

\(f\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{25}{16}\neq 0\)
Tal como tínhamos concluído, f não tem soluções racionais.

Aplicamos ruffini para fatorizar a derivada.
\(f'(x)=\left (x-\frac{1}{2} \right )(4x^2-4x-4)\)

E ao resolver a equação \(4x^2-4x-4=0\)
\(x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\: \: \: \vee \: \: \: x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}
f\left ( \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2} \right )=f\left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2} \right )=0\)

E assim encontrámos as duas soluções duplas de f.
\(f(x)=\left ( x-\left (\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2} \right ) \right )^2\left ( x-\left (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2} \right )\right )^2\)
Autor:  3,14159265 [ 15 fev 2017, 22:27 ]
Título da Pergunta:  Re: Inequação complicada. Onde estão os colaboradores? Sobolev, apareça!
É, cara, você me ensinou bastante aqui. Nem sabia que se fosse raiz múltipla era raiz da derivada também. Gostei! Obrigado.
Autor:  Rui Carpentier [ 16 fev 2017, 02:08 ]
Título da Pergunta:  Re: Inequação complicada. Onde estão os colaboradores? Sobolev, apareça!
Um truque que simplifica bastante a resolução é multiplicar ambos os lados da desigualdade \(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}>\frac{x-1}{x}\) por \(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\) que é um fator positivo para \(x\not= 1\) (para x=1 o fator é nulo).
Ficamos então com \(\left( x-\frac{1}{x}\right)-\left( 1-\frac{1}{x}\right)>\frac{x-1}{x}\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)\) que se simplifica na forma \(x- 1>\frac{x-1}{x}\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right) \Leftrightarrow (x-1)\left[1-\frac{1}{x}\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)\right] >0 \Leftrightarrow (x-1)^2\frac{1}{x}\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)>0 \Leftrightarrow \frac{1}{x}\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)>0 \wedge x\not=1\)
Ou seja, uma vez que \(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}>0\) para \(x\not=1\), temos que a solução é \(\frac{1}{x}>0\) (i.e. x>0) e x tem de estar no domínio de \(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\) (que é fácil ver que é \([-1,0[\cup [1,+\infty [\)).
Resumindo a solução é \(\left[]0,+\infty [\cap \left([-1,0[\cup [1,+\infty [ \right)\right]\setminus \{1\}=]1,+\infty[\).
Autor:  3,14159265 [ 16 fev 2017, 03:24 ]
Título da Pergunta:  Re: Inequação complicada. Onde estão os colaboradores? Sobolev, apareça!
\((x-1)\left [ 1-\frac{1}{x}\left ( \sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}} \right ) \right ] \neq (x-1)\left [ \frac{(x-1)}{x}\left ( \sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}} \right ) \right ]\)

Repare que o x não está multiplicando o que está entre parênteses, só o 1 está.

Quanto você fez isso, você perdeu a raiz da equação que é \(1/2+ \sqrt{5}/2\).

Ele que antes zerava o lado esquerdo, entrou pra solução.
Autor:  Rui Carpentier [ 16 fev 2017, 21:57 ]
Título da Pergunta:  Re: Inequação complicada. Onde estão os colaboradores? Sobolev, apareça!
3,14159265 Escreveu:
\((x-1)\left [ 1-\frac{1}{x}\left ( \sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}} \right ) \right ] \neq (x-1)\left [ \frac{(x-1)}{x}\left ( \sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}} \right ) \right ]\)

Repare que o x não está multiplicando o que está entre parênteses, só o 1 está.

Quanto você fez isso, você perdeu a raiz da equação que é \(1/2+ \sqrt{5}/2\).

Ele que antes zerava o lado esquerdo, entrou pra solução.

Sim, foi um erro estúpido da minha parte. Obrigado pelo reparo.
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