Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

\(4+2\, \log _{16}\, \left (x^{2} \right )\, < 5\)

Resolução
Comecemos por determinar o domínio da condição. \(x^{2}\, > 0\Leftrightarrow \, x\, \neq 0\)
O domínio da condição é \(\mathbb{R}\, \setminus \left \{ 0 \right \}\) . Neste domínio, tem-se:

\(4+2\, \log _{16}\left ( x^{2} \right )\, < 5\Leftrightarrow \, \log _{16}\left ( x^{2} \right )\, < \frac{1}{2}\Leftrightarrow \, x^{2}\, < 16\, ^{\frac{1}{2}}\Leftrightarrow \, x^{2}-4\, < 0\Leftrightarrow \, -2\, < x\, < 2\; \; \wedge \; \; x\, \neq 0\; \; logo\; \; x\, \epsilon \, ]-2,0[\, \cup \, ]0,2[\)

Nota

Poderíamos ter sido tentados a resolver esta inequação da seguinte forma:

\(4+2\, \log _{16}\left ( x^{2} \right )\, < 5\Leftrightarrow \, 4+2\times 2\, \log _{16}\left ( x \right )\, < 5\Leftrightarrow \, \log _{16}\left ( x \right )\, < \frac{1}{4}\Leftrightarrow \, x\epsilon \, ]0,2[\)

Esta resolução está errada, pois o conjunto solução não é ]0,2[ mas sim ]-2,0[ U ]0,2[ . O erro está na substituição de \(\log _{16}\left ( x^{2} \right )\; \; por\; \; 2\, \log _{16}\, x\) já que esta substituição só é válida para x > 0

* O exercício anterior encontra-se em QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS E DE TESTES INTERMÉDIOS DO 12.º ANO - MATEMÁTICA A- Volume II, Funções; 1997-2013 e despoletou algumas dúvidas quando me deparei com ele.

O que significa a substituição mencionada ser apenas válida para x > 0 ? Porque é que efetivamente não a posso utilizar para resolver a inequação se, log a (b^c) é equivalente a, c log a (b) ?

Se alguém me puder ajudar ficarei muito grata.
Bom fim de semana!

Está errada essa substituição pois não se expande corretamente a inequação. Ao fazer-se isso numa equação ou numa inequação, o domínio altera-se logo pois apenas iria aceitar números reais positivos. O que se deve fazer é umas das seguintes maneiras:


\(4+2\times2\log_{16}(\left | x \right |)< 5\: ,x\neq 0\)

ou

\(4+2\times2\log_{16}(x)< 5 \: \wedge \: 4+2\times2\log_{16}(-x)< 5\: ,x\neq 0\)

Caso contrário está a cometer-se um erro de apenas considerar uma das partes (positiva).

Bom dia pedrodaniel,

A sua resposta foi bastante útil, portanto muito obrigada!
Deixe-me, se possível, apenas esclarecer mais umas dúvidas que surgiram na sequência do post anterior.

Vamos supor que temos a expressão \(\ln \left ( x+1 \right )^{2}\; \; em\; \; x\: > \: 2\) . Neste caso posso substituir a expressão anterior por \(2\, \ln \left ( x+1 \right )\) ?

Pegando noutro exemplo, imaginemos que temos a expressão \(\ln\, ^{2}\left ( x+1 \right )^{2}= \left (\ln\left ( x+1 \right )^{2} \right )^{2}\) em \(\mathbb{R}\, \setminus \left \{ -1 \right \}\) . Aqui não posso fazer a substituição para \(\left ( 2\, \ln \left ( x+1 \right ) \right )^{2}\) ?

Alguma sugestão?
Obrigada novamente.

A expansão DEVE ser feita sempre independentemente das restrições iniciais. Mesmo sabendo que é desnecessário xD
Mas quando se resolve uma equação do tipo:

\(\ln (x)=1\), nós sabemos já a resposta, mas na resolução é imprescindível apresentação do domínio. Mesmo sabendo que nada altera a solução.

A Matemática tem destes "caprichos". E o IAVE também. Portanto sempre se deve pecar por excesso que por defeito.

Consegui entender o mecanismo, finalmente!
Concordo consigo, a matemática exige-nos que sejamos metódicos e (exageradamente)? meticulosos para não falar do IAVE que penaliza à mínima distração
Agradeço imenso pelo tempo despendido.
Até à próxima!