16 ago 2015, 01:10
Como resolver a inequação |(n + 1)^1/2 - n^1/2| < (Epsilon)
16 ago 2015, 17:27
Hola que tal,
la inecuación puede ser escrita como \((\sqrt{n+1} - \sqrt{n})^2 < \epsilon^2\)
Al desarrollar, se halla \(2n+1 - 2\sqrt{n(n+1)} < \epsilon^2\) que puede ser ordenado
como \(2n + 1 - \epsilon^2 < 2\sqrt{n(n+1)}\).
Al subir al cuadrado obtenemos \((2n + 1)^2 - 2\epsilon^2(2n+1) + \epsilon^4 < 4n(n+1)\)
Se desarrolla \(4n^2 + 4n + 1 - 4n\epsilon^2 -2\epsilon^2 + \epsilon^4 < 4n^2 + 4n\)
Después de simplificar \(1 - 2\epsilon^2 + \epsilon^4 < 4n\epsilon^2\) o sea
\(n > \left(\dfrac{\epsilon^2 - 1}{2\epsilon}\)^2\)
Lo que muestra que \(\epsilon> 1\) para tener n> 0.
Por ejemplo \(n = 50\)
\(\sqrt{51} - sqrt{50} = 0.0703\),
A ver por \(\epsilon=0.0703\)!
\(n > \left(\dfrac{0.0703^2 - 1}{2\times0.0703}\right)^2=50.087\) que es superior a \(50\)
Espero que ayuda!