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| demonstração envolvendo mdc e mmc de polinômios https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=12582 |
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| Autor: | dibasi [ 11 abr 2017, 02:00 ] |
| Título da Pergunta: | demonstração envolvendo mdc e mmc de polinômios |
Se f(x), g(x) ∈ F[x] são polinômios não-nulos tais que mdc(f(x), g(x)) =d(x) e mmc(f(x), g(x)) = m(x), mostre que gr(d(x))+gr(m(x)) =gr(f(x))+gr(g(x)). gr=grau. Preciso muito dessa demonstração e agradeço quem me apresentar uma dica ou a solução. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 11 abr 2017, 23:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: demonstração envolvendo mdc e mmc de polinômios |
Dica: Comece por mostrar que 1) d(x)m(x)=f(x)g(x) (pode fazer-lo verificando que f(x)g(x)/d(x) é múltiplo comum de f e g, logo \(f(x)g(x)\ge d(x)m(x)\), e que f(x)g(x)/m(x) é divisor comum de f e g, logo \(f(x)g(x)\le d(x)m(x)\)); e em seguida mostre que 2) gr(f(x)g(x))=gr(f(x))+gr(g(x)); depois é fácil concluir. |
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| Autor: | dibasi [ 12 abr 2017, 04:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: demonstração envolvendo mdc e mmc de polinômios |
Muito bom. Só que eu não entendo como vou saber o grau desses polinômios e aplicar na igualdade |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 12 abr 2017, 12:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: demonstração envolvendo mdc e mmc de polinômios |
dibasi Escreveu: Muito bom. Só que eu não entendo como vou saber o grau desses polinômios e aplicar na igualdade Mas para quê que precisa de saber o grau desses polinómios? Se d(x)m(x)=f(x)g(x) e o grau de um produto de polinómios não-nulos for igual à soma dos graus desses polinómios então: gr(d(x))+gr(m(x))=gr(d(x)m(x))=gr(f(x)g(x))=gr(f(x))+gr(g(x)). |
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| Autor: | dibasi [ 12 abr 2017, 13:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: demonstração envolvendo mdc e mmc de polinômios |
Agora entendi o raciocínio. Obrigado. |
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