mostre que não existe polinômio

[dibasi]

Mostre que não existe polinômio f(x) pertencente a R[x] tal que: f(x)²=x³+x+1.
Grato a quem fizer a referida demonstração.

[Fraol]

Para existir tal polinômio \(f(x)\) tal que \((f(x))^2 = x^3 + x + 1\), \(f(x)\) deveria ter grau menor do que \(3\).
Se este tal \(f(x)\) for de grau \(2\) então ao ser elevado ao quadrado obteríamos um polinômio de grau \(4\). Não convém.
Se este tal \(f(x)\) for de grau \(1\) então ao ser elevado ao quadrado obteríamos um polinômio de grau \(2\). Não convém, também.
(De grau 0 nem pensar). Portanto não existe \(f(x)\) tal que \((f(x))^2 = x^3 + x + 1\).

Uma outra maneira de pensar é ver que \((f(x))^2\) é sempre um número positivo mas \(x=-1 \Rightarrow x^3 + x + 1 = -1\) é um contraexemplo.