Soluções inteira da equação diofantina de erdem 2.

[eurivanjr]

Olá, boa tarde!

Gostaria de receber algumas contribuições no que diz respeito as soluções inteira da equação diofantina \(x^2+y^2=5z^2.\).

[jorgeluis]

eurivanjr,
as equações diofantinas tem as seguintes características:
-formato:
\(ax+by=c\)
-coeficientes e variáveis inteiras:
\((a,b,c) e (x,y) \in \mathbb{Z}\)
assim,
\(x^{2}+y^{2}=5z^{2}
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{ 5z^{2}}
\sqrt{x^{2}}+\sqrt{y^{2}}=\sqrt{ 5z^{2}}
x+y=z\sqrt{5}\)
para que,
\(x+y \in \mathbb{Z}
z=\sqrt{5}\)
logo,
\(S=\left \{ x,y\in \mathbb{Z}/x+y=5 \right \}\)

[Sobolev]

Jorge, a raiz quadrada de uma soma não é igual à soma das raízes quadradas das parcelas...

[Sobolev]

Este tipo de equações está relacionada com os chamados "ternos Pitagóricos", \((a,b,c)\) tais que \(a^2+b^2 = c^2\). Se conseguir reduzir a equação a uma destas, existem caracterizações das soluções.

[eurivanjr]

Olá, boa tarde Sobolev.

Neste problema busquei reduzir a equação dada a uma terna pitagórica. Veja:

Façamos: \(x=2a+b\) e \(y=a-2b\). Daí, tem-se:

\(x^2+y^2=5z^2\) <=> \(a^2+b^2=z^2\).

Note que \(a^2+b^2=z^2\) é a equação de Pitágoras.
Minha dúvida é: como garantir que \(a\) e \(b\) são inteiros?

[Rui Carpentier]

(...)
Note que \(a^2+b^2=z^2\) é a equação de Pitágoras.
Minha dúvida é: como garantir que \(a\) e \(b\) são inteiros?

Basta considerar \(a=m^2-n^2\), \(b=2mn\) e \(z=m^2+n^2\) como pode facilmente ver na página da wikipédia sobre o assunto. Aliás, a menos de troca de a por b, todas as solução primitivas (i.e. primas entre si) são desta forma.

[Bruno Linhares]

Tente utilizando a descida de Fermat.