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| Soluções inteira da equação diofantina de erdem 2. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=73&t=12680 |
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| Autor: | eurivanjr [ 03 mai 2017, 20:04 ] |
| Título da Pergunta: | Soluções inteira da equação diofantina de erdem 2. |
Olá, boa tarde! Gostaria de receber algumas contribuições no que diz respeito as soluções inteira da equação diofantina \(x^2+y^2=5z^2.\). |
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| Autor: | jorgeluis [ 04 mai 2017, 01:40 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soluções inteira da equação diofantina de erdem 2. |
eurivanjr, as equações diofantinas tem as seguintes características: -formato: \(ax+by=c\) -coeficientes e variáveis inteiras: \((a,b,c) e (x,y) \in \mathbb{Z}\) assim, \(x^{2}+y^{2}=5z^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{ 5z^{2}} \sqrt{x^{2}}+\sqrt{y^{2}}=\sqrt{ 5z^{2}} x+y=z\sqrt{5}\) para que, \(x+y \in \mathbb{Z} z=\sqrt{5}\) logo, \(S=\left \{ x,y\in \mathbb{Z}/x+y=5 \right \}\) |
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| Autor: | Sobolev [ 04 mai 2017, 09:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soluções inteira da equação diofantina de erdem 2. |
Jorge, a raiz quadrada de uma soma não é igual à soma das raízes quadradas das parcelas... |
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| Autor: | Sobolev [ 04 mai 2017, 10:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soluções inteira da equação diofantina de erdem 2. |
Este tipo de equações está relacionada com os chamados "ternos Pitagóricos", \((a,b,c)\) tais que \(a^2+b^2 = c^2\). Se conseguir reduzir a equação a uma destas, existem caracterizações das soluções. |
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| Autor: | eurivanjr [ 04 mai 2017, 17:40 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soluções inteiras da equação diofantina de erdem 2. |
Olá, boa tarde Sobolev. Neste problema busquei reduzir a equação dada a uma terna pitagórica. Veja: Façamos: \(x=2a+b\) e \(y=a-2b\). Daí, tem-se: \(x^2+y^2=5z^2\) <=> \(a^2+b^2=z^2\). Note que \(a^2+b^2=z^2\) é a equação de Pitágoras. Minha dúvida é: como garantir que \(a\) e \(b\) são inteiros? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 08 mai 2017, 02:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soluções inteira da equação diofantina de erdem 2. |
eurivanjr Escreveu: (...) Note que \(a^2+b^2=z^2\) é a equação de Pitágoras. Minha dúvida é: como garantir que \(a\) e \(b\) são inteiros? Basta considerar \(a=m^2-n^2\), \(b=2mn\) e \(z=m^2+n^2\) como pode facilmente ver na página da wikipédia sobre o assunto. Aliás, a menos de troca de a por b, todas as solução primitivas (i.e. primas entre si) são desta forma. |
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| Autor: | Bruno Linhares [ 08 mai 2017, 22:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soluções inteira da equação diofantina de erdem 2. |
Tente utilizando a descida de Fermat. |
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