Boa noite!
Para os colegas Fernando e JorgeLuis, há um método chamado método de ferrari que calcula raízes de equações de quarto grau. Acredite, não é um método trivial.
Pelo WolframAlpha há 4 raízes: 2 reais e 2 complexas (complexos conjugados).
As raízes reais são (aproximadamente) 0,77563 e 2,68252 e as raízes complexas são -1,06377-0,38569i e -1,06377+0,38569i.
Para obter essas raízes o trabalho é 'hercúleo'. Vou anexas as raízes exatas (também obtidas pelo WolframAlpha) aqui.
- Wolfram-Alpha-Raízes.png (39.91 KiB) Visualizado 5282 vezes
Agora poderia mostrar um método para obter as raízes chamado método de Newton-Raphson. É um método iterativo para obter raízes aproximadas. Serve não só para equações do 3 e 4 graus mas
também para toda e qualquer equação (derivável).
A função é \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+8\)
Sua derivada é \(f'(x)=12x^3-12x^2-24x\)
A função iterativa:
\(\phi(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}\\\phi(x)=x-\dfrac{3x^4-4x^3-12x^2+8}{12x^3-12x^2-24x}\)
A tabela abaixo tem os valores das iterações para obtermos as duas raízes:
A primeira raiz:
\(\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
n&x&f(x)&f'(x)&\phi(x)\\
\hline
0&1,00000000&-5,00000000&-24,00000000&0,79166667\\
1&0,79166667&-0,32710323&-20,56684028&0,77576227\\
2&0,77576227&-0,00260677&-20,23766873&0,77563346\\
3&0,77563346&-0,00000017&-20,23496953&0,77563345\\
4&0,77563345&0,00000000&-20,23496935&0,77563345
\end{tabular}\)
A segunda raiz:
\(\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
n&x&f(x)&f'(x)&\phi(x)\\
\hline
0&3,00000000&35,00000000&144,00000000&2,75694444\\
1&2,75694444&6,28565425&94,08232462&2,69013429\\
2&2,69013429&0,40083256&82,21120001&2,68525865\\
3&2,68525865&0,00204066&81,37478812&2,68523357\\
4&2,68523357&0,00000005&81,37049655&2,68523357\\
5&2,68523357&0,00000000&81,37049644&2,68523357
\end{tabular}\)
Bom, espero ter ajudado!