Resto da divisão de Q(x) por P(x)

[danjr5]

Sejam \(P(x) = x^2 - 4\) e \(Q(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + a\) ,onde \(Q(2) = 0\). O resto da divisão de \(Q(x)\) por \(P(x)\) é?

[Rui Carpentier]

Penso que o mais simples é determinar \(a\) através da condição \(Q(2)=0\) e depois fazer a divisão de polinómios para determinar o resto.
Uma outra alternativa é usar a identidade \(R(x)=Q(x)-P(x)L(x)\) onde \(R(x)\) é o resto e \(L(x)\) é o quociente da divisão de \(Q(x)\) por \(P(x)\). Como \(Q(2)=0\) então \(x-2\) é fator de \(Q(x)\) e como também o é de \(P(x)\) temos que \(x-2\) é fator de \(R(x)\) que tem grau menor ou igual a um. Logo \(R(x)=k(x-2)\). A constante \(k\) pode ser determinada por \(k=R'(0)=Q'(0)-P'(0)L(0)-P(0)L'(0)=5-0\times L(0) +4L'(0)=9\) (como \(Q\) e \(P\) são mónicos \(L\) também é mónico e tendo este o grau um tem-se que \(L'(x)=1\)).