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Qual o valor de n em \(4^{16}\cdot 5^{25}= x\cdot (10)^{n}\) , com \(1\leq x< 10\)

gostaria de uma explicação sobre essa questão.
quem puder ajudar.

\(4^{16}.5^{25}=x.10^n \rightarrow 2^{32}.5^{25}=(2^{25}.5^{25}).2^7=10^{25}.128\)


\(10^{25}.128=x.10^n \rightarrow x=10^{25-n}.128\)


mas \(1\leq x< 10 \rightarrow 1\leq 10^{25-n}.128< 10\)

Como o conjunto numérico de "n" não foi especificado a questão fica em aberto.
Caso consideremos "n" um número real existem uma infinidade de soluções. Contudo por bom senso é de se imaginar que "n" pertença aos naturais, neste caso:

n=27

\(10^{25-n}.128=1,28 \rightarrow 10^{25-n}=10^{-2} \rightarrow n=27\)

Resolvendo em ordem a n obtemos

\(n = 16 \log_{10} 4 + 25 \log_{10} 5 - \log_{10} x\)

Tal como foi já indicado, se não existir qualquer restrição sobre n, podemos usar a fórmula anterior para calcular o valor de n a considerar para cada x.

Se n tiver que ser inteiro, considerando que \(0 \leq \log_{10}x \leq 1\) e que \(16 \log_{10} 4 + 25 \log_{10} 5 \approx 27.1072\), a única alternativa é ser n =27 e \(x = 10^{0.1072} \approx 1.27997\)