Fórum de Matemática
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se x>0 e (x^2)+ 1/(2^2)=7

(x^5)+1/(x^5) = ?

Presumo que seja \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 7\).

Se sim, segue que:

\(x^2 + \frac{1}{x^2} = 7\)

\(\left ( x + \frac{1}{x} \right )^2 - 2 = 7\)

\(\left ( x + \frac{1}{x} \right )^2 = 9\)

\(\left ( x + \frac{1}{x} \right ) = \sqrt{9}\)

\(\fbox{\left ( x + \frac{1}{x} \right ) = 3}\)

elevando ao cubo...

\(x^3 + 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3x \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = 27\)

\(x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = 27\)

\(x^3 + 3\left (x + \frac{1}{x} \right ) + \frac{1}{x^3} = 27\)

\(x^3 + 3 \cdot 3 + \frac{1}{x^3} = 27\)

\(\fbox{x^3 + \frac{1}{x^3} = 18}\)

Com efeito,

\(\left ( x^2 + \frac{1}{x^2} \right ) \cdot \left ( x^3 + \frac{1}{x^3} \right ) = 7 \cdot 18\)

\(x^5 + \frac{x^2}{x^3} + \frac{x^3}{x^2} + \frac{1}{x^5} = 126\)

\(x^5 + \frac{1}{x} + x + \frac{1}{x^5} = 126\)

\(x^5 + \left (x + \frac{1}{x} \right ) + \frac{1}{x^5} = 126\)

\(x^5 + 3 + \frac{1}{x^5} = 126\)

\(\fbox{\fbox{\fbox{x^5 + \frac{1}{x^5} = 123}}}\)

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Daniel Ferreira
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