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Desde ja agradeço uma possível solução.

Seja a, b, c reais tais que a ≠ b e
a²(b+c)= b²(c+a)= 2010. Calcule c²(a+b)

Fazendo com alguns passos largos:

Se \(a^2(b+c)=b^2(c+a)\) então \(ab(a-b)=c(a-b)(a+b)\). Como \(a\not=b\) temos \(c(a+b)=-ab\), logo \(c=-\frac{ab}{a+b}\) (há que ver que \(a+b\not=0\), o que não é difícil, para que a última igualdade seja válida).
Experimente agora substituir \(c=-\frac{ab}{a+b}\) nas expressões \(c^2(a+b)\) e \(a^2(b+c)\) e compare-as.

Abordei da seguinte forma:

\(a^2(b + c) = b^2(c + a) \\\\ \frac{a^2}{b^2} = \frac{(c + a)}{(b + c)} \\\\ \frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{k}{k} = \frac{(c + a)}{(b + c)} \\\\ \begin{cases} c + a = a^2 \cdot k \Rightarrow c = a^2 \cdot k - a \\ b + c = b^2 \cdot k \Rightarrow c = b^2 \cdot k - b \end{cases}\)

Igualando C,

\(\\ a^2 \cdot k - a = b^2 \cdot k - b \\ a^2 \cdot k - b^2 \cdot k = a - b \\ k(a + b)(a - b) = (a - b) \;\; \div(a - b \\ k(a + b) = 1 \\ k \cdot (a + b) = (- 1) \cdot (- 1) \\\\ \fbox{k = - 1} \\ \fbox{a + b = - 1}\)


Com efeito,

\(\begin{cases} c + a = a^2 \cdot k \Rightarrow c = a^2 \cdot k - a \Rightarrow c = - a^2 - a \Rightarrow \fbox{c^2 = (- a^2 - a)^2}\\ b + c = b^2 \cdot k \Rightarrow c = b^2 \cdot k - b \Rightarrow \fbox{c = - b^2 - b} \end{cases}\)


Ora,

\(\\ b^2(c + a) = 2010 \\\\ (- a - 1)^2 \cdot (- a^2 - \cancel{a} + \cancel{a}) = 2010 \\\\ - a^2(a + 1)^2 = 2010\)


Por fim, podemos concluir que:

\(c^2(a + b) = \\\\ (- a^2 - a)^2 \cdot (- 1) = \\\\ - (a^2 + a)^2 = \\\\ - \left [ a(a + 1) \right ]^2 = \\\\ - a^2(a + 1)^2 = \\\\ \fbox{\fbox{2010}}\)

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Daniel Ferreira
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De grande ajuda! Obrigado.