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Considerando a Espiral de Ulam (em anexo)

O polinômio \(f(x) = 4x^2-2x+1\) pode calcular os números da diagonal 1-3-13-31, pois:
Para
x=1 a f(1)=3
x=2 a f(2)=13
x=3 a f(3)=31
x=4 a f(4)=57
x=5 a f(5)=91
E assim por diante

É possível chegar em outros polinômios, para calcular outras diagonais e retas da Espiral de Ulam apenas chutando novos valores na expressão, como em \(f(x)=4x^2-3x+1\) para calcular os números da reta 1-2-11-28, mas como isso é feito matematicamente falando, sem chutar valores? Por exemplo, como eu poderia criar uma expressão semelhante que me trouxesse os resultados da diagonal 1-5-17-37, e da reta 1-8-23-46, etc?

Do ponto de vista completamente operacional, pode observar que todas as "diagonais" da espiral podem ser obtidas usando polinómios de grau 2, isto é, \(f(x)=ax^2+bx+c\). Se além disso convencionarmos que o centro da espiral (1) é obtido quando x=0, a função será da forma \(f(x)=ax^2+bx+1\). Uma forma de obter a espiral em cada "diagonal" é determinar a e b usando os dois primeiros termos da diagonal, ficando depois com a expressão que permite obter todos os outros.

Por exemplo, se considerar a diagonal que parte para o canto inferior esquerdo, terá que determinar a e b de modo que f(1)=7 e f(2)=21. Ora, isto vai levar a

\(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 +1 = 7, \quad a \cdot 2^2 + b \cdot 2 +1 =21\)

donde se retira que, neste caso, \(f(x)=4x^2+2x+1\).