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Considere o polinômio (definido nos reais) \(p(x) = x^4 - mx^2 - 4\). Existe \(m \in \mathbb{R}\) tal que \(p(x)\) possua 4 raízes reais? Se sim, calcule os possíveis valores de \(m\). Caso contrário, justifique porque não existe.

Seja \(p(x)\) uma equação biquadrada, onde: \(\begin{cases} S = m \\ P = - 4 \end{cases}\)

Devemos encontrar dois números de modo que o produto entre eles seja \(- 4\).
Sabemos das regras de sinais que: na multiplicação/divisão, o sinal negativo resulta da multiplicação entre sinais diferentes; daí, a não existência do valor de \(m\), pois apenas duas raízes seriam reais, veja:

Exemplo de dois números cujo produto é \(- 4\): \(1\) e \(- 4\).
Podemos concluir que \(m = - 3\), então:

\(x^4 - mx^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^4 + 3x^2 - 4 = 0\)

\((x^2 + 4)(x^2 - 1) = 0\)

\((x^2 + 4)(x + 1)(x - 1) = 0\)

\(\fbox{S = \left \{- 2i, 2i, - 1, 1 \right \}}\)

Apenas duas raízes reais!!


Obs.: Se o produto fosse positivo, aí sim teríamos quatro raízes reais!

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Daniel Ferreira
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