Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Determinar a média e o desvio padrão relativo ao numero de acidentes por dia em uma rodovia:
Nº de acidentes: 0 1 1 3 4
Nº de dias------: 15 16 12 9 6

R.: 1,65 e 1,35

Não consigo entender porque dá 1,65! Tentei fazer a média ponderada e também não dá esse valor...

Alguém pode resolver a questão detalhadamente para que eu possa ver o raciocínio e entender pq estou errando?

Obrigada!

Boa tarde! (Boa noite! Editei para arrumar as fórmulas das médias e desvio-padrão para distribuição de frequências)

Para o conjunto de dados que passou:
\(\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline
X & f & fX & fX^2\\
\hline
0 & 15 & 0 & 0 \\
1 & 16 & 16 & 16 \\
1 & 12 & 24 & 48 \\
3 & 9 & 27 & 81 \\
4 & 6 & 32 & 128 \\
\hline
\Sigma & 58 & 79 & 205
\hline
\end{tabular}\)

Média:
\(\mu = \frac {\sum f.X}{\sum f}
\mu = \frac {79}{58}
\mu \approx 1,36\)

Desvio-padrão:
\(\sigma = \sqrt {\frac {\sum f.X^2}{\sum f}- {\left (\frac {\sum f.X}{\sum f} \right )}^2}
\sigma = \sqrt {\frac {205}{58}- {\left (\frac {79}{58} \right )}^2}
\sigma = \sqrt {\frac {205}{58}- \left (\frac {6241}{3364} \right )}
\sigma = \sqrt {\frac{5649}{3364}}
\sigma \approx 1,2959\)

Dando uma "passeada" pela internet encontrei neste site (http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/Gsfs/32127100.html) um exercício com os dados que dariam a resposta. Confira para ver se não postou com os dados errados, por favor, ok?
Este conjunto de dados que estava no site:
\(\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline
X & f & fX & fX^2\\
\hline
0 & 15 & 0 & 0 \\
1 & 16 & 16 & 16 \\
2 & 12 & 24 & 48 \\
3 & 9 & 27 & 81 \\
4 & 8 & 32 & 128 \\
\hline
\Sigma & 60 & 99 & 273
\hline
\end{tabular}\)

Média:
\(\mu = \frac {\sum f.X}{\sum f}
\mu = \frac {99}{60}
\mu = 1,65\)

Desvio-padrão:
\(\sigma = \sqrt {\frac {\sum f.X^2}{\sum f}- {\left (\frac {\sum f.X}{\sum f} \right )}^2}
\sigma = \sqrt {\frac {273}{60}- {\left (\frac {99}{60} \right )}^2}
\sigma = \sqrt {\frac {273}{60}- \left (\frac {9801}{3600} \right )}
\sigma = \sqrt {\frac{731}{400}}
\sigma \approx 1,35\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Acho que o erro está na apostila de onde tirei o exercício, pois conferi e os dados são esses que passei. Talvez o erro foi na hora de fazer a diagramação...

Desculpe mas sou bem fraca em matemática(comecei cursinho agora depois de 6 anos parada) e tenho um pouco de dificuldade. Não entendi o quadro e as notações que você usou nem como chegou no resultado. Poderia me explicar melhor?

Para achar a média eu peguei o número de acidentes e dividi pelo numero de dias.
9 : 58 = 0,155

Você dividiu 79 por 58, mas de onde veio o 79?

Eu sei que minhas duvidas são bobas mas por favor não grile comigo...

E muito obrigado por responder!

Posso ajudar sim, com certeza!

O 79 veio da soma da quantidade de acidentes em cada dia. Na tabela, tínhamos 15 dias com 0 acidentes, 16 dias com 1 acidente, 12 dias com 1 acidentes, 9 dias com 3 acidentes e 6 dias com 4 acidentes. O total de acidentes, então, foram 79, somando-se todos os valores (15x0+16x1+12x1+9x3+6x4)

Já o 58 foi obtido somando-se os dias {15+16+12+9+6}

Bom, vou tentar ajudar abaixo com as definições para o cálculo tanto da média quanto desvio-padrão. Quaisquer novas dúvidas pode perguntar, ok?

Média aritmética é uma medida de posição e é calculada como a SOMA de todos os valores da distribuição dividido pela quantidade de elementos da mesma.
Ex.: Dado o conjunto abaixo, calcule a média dos elementos.
\(A=\left{1,2,3,3,4,5,5,5,6,7\right}\)

Neste conjunto, N = 10 elementos
\(\bar {A} = \frac{\sum A}{N}=\frac{1+2+3+3+4+5+5+5+6+7}{10}=\frac{41}{10}=4,1\)

Em algumas distribuições podemos notar que certos elementos se repetem, e poderia simplificar as contas utilizando essa ideia.
Vamos montar uma tabela de frequências da seguinte forma:

\(\begin{tabular}{c|c|c}
\hline
X & f & fX &\\
\hline
1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 2\\
3 & 2 & 6\\
4 & 1 & 4\\
5 & 3 & 15\\
6 & 1 & 6\\
7 & 1 & 7\\
\hline
\Sigma & 10 & 41
\hline
\end{tabular}\)

Desvio-padrão é uma medida de dispersão. Esta medida visa mensurar como os dados variam em torno da média. É calculado pela seguinte fórmula:
\(\sigma=\sqrt {\frac {\sum \left( X-\bar X \right)^2} {N}}\)

Esta fórmula pode ser simplificada e chegar na seguinte expressão:
\(\sigma=\sqrt {\frac {\sum X^2} {N}-\left(\frac {\sum X}{N}\right)^2}\)

Para a distribuição de exemplo que utilizamos logo acima, teremos:
\(A=\left{1,2,3,3,4,5,5,5,6,7\right}\)

Calculando os valores ao quadrado:
\(A^2=\left{1,4,9,9,16,25,25,25,36,49\right}\)

Agora calculando pela fórmula:
\(\sigma=\sqrt {\frac {\sum X^2} {N}-\left(\frac {\sum X}{N}\right)^2}
\sigma=\sqrt {\frac {1+4+9+9+16+25+25+25+36+49} {10}-\left(\frac {1+2+3+3+4+5+5+5+6+7}{10}\right)^2}
\sigma=\sqrt {\frac {199} {10}-\left(\frac {41}{10}\right)^2}
\sigma=\sqrt {\frac {199} {10}-\frac {1681}{100}}
\sigma=\sqrt {\frac {309} {100}}
\sigma \approx 1,758\)

Da mesma forma podemos calcular o desvio-padrão pela tabela. Vou reproduzir a mesma tabela agora com a coluna que falta para calcularmos o desvio-padrão:
\(\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline
X & f & fX & fX^2\\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 2 & 4 \\
3 & 2 & 6 & 18 \\
4 & 1 & 4 & 16 \\
5 & 3 & 15 & 75 \\
6 & 1 & 6 & 36 \\
7 & 1 & 7 & 49 \\
\hline
\Sigma & 10 & 41 & 199
\hline
\end{tabular}\)

\(\sigma = \sqrt {\frac {\sum f.X^2}{\sum f}- {\left (\frac {\sum f.X}{\sum f} \right )}^2}
\sigma = \sqrt {\frac {199}{10}- {\left (\frac {41}{10} \right )}^2}
\sigma=\sqrt {\frac {199} {10}-\frac {1681}{100}}
\sigma=\sqrt {\frac {309} {100}}
\sigma \approx 1,758\)

Espero ter ajudado! Abraços!

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Baltuilhe
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Mas se eu multiplicar os dias pelos acidentes eu não estarei calculando a média ponderada em vez da média aritmética? Se não, como seria a média ponderada então?

Eu entendi um pouco das notações... Mas estou com dúvida na tabela.Veja se estou certa:

1) O X representa o conjunto de elementos?
2) O f o numero de elementos do conjunto(inclusive os que repetem)?
3) O fX é a média?
4) E o fX² , o que é?


Desculpe pela demora, é que estava difícil entrar na net! Correria demais... Estou fazendo cursinho com aulas de manhã e a tarde e com simulado todo fds... Estou ficando maluca!!! Rsrsrsrs Mas é MUITO bom estudar!!!

Bom dia!

1) O X representa, sim, os elementos do conjunto. No caso, os elementos deste conjunto são o número de acidentes por dia.
2) O f representa a frequência, a quantidade de elementos X que se repetem. No caso, o número de dias em que a quantidade de acidentes é a mesma.
3) fX não é a média. É o produto entre a quantidade de elementos e o elemento do conjunto. Então, tendo 3 elementos repetidos, ao invés de fazermos X+X+X fazemos 3X, onde 3 é a frequência (f).
4) fX² é o quadrado da variável (ou seja, X*X) multiplicado pela frequência. Serve para calcular a variância e o desvio-padrão.

Falar média ponderada e média aritmética são duas coisas distintas. A média ponderada é aquela que considera 'pesos' (ou frequências, repetições) para cada variável. Já dizer média aritmética diz respeito à forma como o cálculo da média é feito.
No caso, média aritmética é aquela na qual somamos os valores e dividimos pela quantidade. O fato de fazermos ou não de forma ponderada não implica que não é aritmética.
Para ter um exemplo diferente, existem outros tipos de média, tais como a média geométrica e a média harmônica, ambas também podendo serem calculadas de forma ponderada.

Média geométrica: Produto entre todos os termos com posterior cálculo da raiz de ordem n (a quantidade de elementos) deste produtório.
\(G=\sqrt[n]{\Pi X}\)
Onde\(\Pi\) é o produtório (produto entre todos os termos)

Média harmônica: Recíproca da média aritmética dos recíprocos.
\(H=\frac{1}{\frac{\sum {\frac{1}{X}}}{N}}\)

\(H=\frac{N}{\sum {\frac{1}{X}}}\)

Espero ter ajudado um pouco mais!

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Baltuilhe
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