Rendimento até o vencimento, sendo valor de mercado superior ao valor de face

[Rivetti]

Calcular o Yield to Maturity de um título emitido com valor de face de USD.1.000,00, vencimento em 3 anos, cupom semestral de 2,5% ao semestre, considerando um valor de mercado de 101% do valor de face.

A. 4,64% ao ano
B. 2,32% ao ano
C. 4,69% ao ano
D. 5,00% ao ano

Gabarito: A

Agradeço a ajuda!

[jorgeluis]

Calculando o Yield to Maturity (YTM) (Rendimento à Maturidade):

desconto:
\(d=1010-1000
d=10\)

ganho de capital anual:
\(c=\frac{d}{3}
c=3,3333...\)

retorno total anual:
\(i_a=0,050625
r=c+i_a\times 1000
r=53,9583...\)

1^o rendimento:
\(a=\frac{r}{1010}
a=0,0534...\)

valor nominal - retorno total anual:
\(s=1000-r
s=946,0416...\)

2^o rendimento:
\(b=\frac{r}{s}
b=0,0570...\)

Yield to Maturity:
\(YTM=\frac{a+b}{2}
YTM=0,0552...\)

O Yield to Maturity é de aprox. 5,52%.
Provavelmente essa questão foi calculada com taxa errada (2,09%a.s.), por isso, não há opção.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Acho que estou 'começando' a entender como se calcula o YTM.
Essa seria a taxa real de rendimento ao se adquirir um título (bond) com valor de face discriminado (valor a receber no futuro) e comprado por um valor de mercado.
Então, dados:
Título: 1.000,00
Taxa: 2,5% a.s.
Período: 3 anos = 6 semestres
Valor pago (atual): 101% do valor de face (título) = 101% de 1.000 = 1.010,00
Valor do 'fluxo' de caixa (resgate semestral) = 2,5% de 1.000,00 = 25,00 semestrais
YTM: i = ?

Calculando:
\(PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]+\dfrac{FV}{\left(1+i\right)^n}
1\,010=25\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+YTM\right)^{-6}}{YTM}\right]+\dfrac{1\,000}{\left(1+YTM\right)^6}\)

Para obter este valor podemos utilizar tentativa e erro. No caso o valor chegará a:
\(YTM\approx 2,32%\text{ a.s.}\)

Isso nos entrega um valor de 4,64% a.a., letra a)

Caso queira realmente calcular há um processo chamado Newton-Raphson. Vou deixar aqui abaixo caso tenha curiosidade.

Spoiler:

\(1\,010\cdot i\cdot\left(1+i\right)^6=25\left[\left(1+i\right)^6-1\right]+1\,000\cdot i
1\,010\cdot i\cdot\left(1+i\right)^6-25\left[\left(1+i\right)^6-1\right]-1\,000\cdot i=0
f(i)=1\,010\cdot i\cdot\left(1+i\right)^6-25\left[\left(1+i\right)^6-1\right]-1\,000\cdot i
f'(i)=1\,010\left(1+i\right)^6+6\,060\cdot i\left(1+i\right)^5-150\cdot\left(1+i\right)^5-1\,000
\phi(i)=i-\dfrac{f(i)}{f'(i)}
\begin{array}{c|c|c|c}i&f(i)&f'(i)&\phi(i)\\\hline
10,000\%&59,638636&1523,669170&6,086\%\\
6,086\%&16,122671&733,676021&3,888\%\\
3,888\%&4,059488&373,388930&2,801\%\\
2,801\%&0,873518&214,763368&2,394\%\\
2,394\%&0,114878&158,553859&2,322\%\\
2,322\%&0,003567&148,715325&2,320\%\\
2,320\%&0,000004&148,390487&2,320\%\\
2,320\%&0,000000&148,390132&2,320\%\\
2,320\%&0,000000&148,390132&2,320\%\end{matrix}\)

Espero ter ajudado!