Fórum de Matemática
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Calcule o limite abaixo por manipulação matemática (sem uso do Teorema de L'Hopital):

O objetivo é então usar o limite fundamental \(\lim_{t\to 0}\frac{\mbox{sen} t}{t}=1\).
Primeiro note que \(\mbox{sen}(\pi x)=\mbox{sen}(\pi x-3\pi +3\pi)=-\mbox{sen}(\pi x -3\pi)\).
Assim sendo, tem-se que \((x-3)\mbox{cosec}(\pi x)=\frac{x-3}{\mbox{sen}(\pi x)}=\frac{x-3}{-\mbox{sen}(\pi x-3\pi)}=\frac{\pi (x-3)}{-\pi\mbox{sen}(\pi (x-3))}\).
E portanto,

\(\lim_{x\to 3}(x-3)\mbox{cosec}(\pi x)=\lim_{x\to 3}\frac{\pi (x-3)}{-\pi\mbox{sen}(\pi (x-3))}=\lim_{t\to 0}\frac{t}{-\pi\mbox{sen}(t)}=-\frac{1}{\pi}\)