Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite, pessoal.

Estou com dificuldades para resolver essa questão e preciso muito da ajuda de vocês:

Demonstre o seguinte teorema:
(Teorema do valor Médio de Lagrange)
Seja \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) contínua. Se f é derivável em \((a,b)\) existe \(c\in (a,b)\) tal que \(f'(c)=\left [ f(b)-f(a) \right ]/(b-a)\).

Aguardo retorno de vocês.

Agradeço antecipadamente.

Gonsalves

Seja \(\lambda = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) e \(g(x)=f(x)-\lambda x\)

Desta forma temos que:
\(g(b)-g(a)=f(b)-\lambda b-f(a)+\lambda a=f(b)-f(a)-\lambda (b-a)=0\) (Substituiu-se \(\lambda\))

Sabemos que:
\(g'(x)=f'(x)-\lambda\)
E se aplicarmos o Teorema de Rolle à função g, que satisfaz g(b)=g(a), para concluir que existe um \(c\in ]a,b[\) tal que:
\(g'(c)=0\), ou seja, \(f'(c)-\lambda =0\Rightarrow f'(c)=\lambda \Rightarrow f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)