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Coloque aqui todas as dúvidas que tiver sobre derivadas de funções de |R->|R, regras de derivadas e derivada da função inversa
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Dúvida em Limites Derivadas e estudo do sinal (?)  [resolvida]

21 abr 2017, 02:14

Boa noite, galera! Eu tenho uma dúvida em relação à estudo de sinal de uma derivada, e não tenho sucesso em encontrar materiais explicativos sobre isso. Gostaria da ajuda de vocês em como fazer. Mas antes, para fazer o estudo corretamente provavelmente terei de acertar as derivadas, daí queria saber se também poderiam avaliar minhas respostas e verificar se estão corretas para fazer o estudo do sinal corretamente.

Desde já muito obrigado!
Seguem as imagens do problemão:
Anexos
003.jpg
002.jpg
001.jpg

Re: Dúvida em Limites Derivadas e estudo do sinal (?)

21 abr 2017, 20:54

Oi, vamos lá.

O domínio está correto.

Não tem assíntotas verticais, ok.
Quanto às horizontais é necessário revisar o caso de x tendendo a menos infinito.

A primeira derivada está ok.
A segunda derivada está com um problema no sinal negativo entre as parcelas no numerador.

O esboço do gráfico está ok.

Quanto aos sinais, você precisa obter os intervalos em que f' e f'' são maiores do que 0, iguais a 0 ou menores do que 0.
Depois volte aqui se tiver alguma dúvida ou não concordar com algo que expus acima.

Re: Dúvida em Limites Derivadas e estudo do sinal (?)

22 abr 2017, 15:52

Bom dia, Fraol! Muito obrigado pela resposta!
*Bom consertei as assíntotas horinzontais são y=1 e y=-1.
** Fiz também o estudo do sinal e consertei as derivadas. Você poderia avaliar agora?

Muitíssimo obrigado!
Anexos
001.jpg

Re: Dúvida em Limites Derivadas e estudo do sinal (?)

22 abr 2017, 18:36

Oi, as assíntotas estão ok.
A primeira derivada também.
A segunda derivada ainda não está 100%.

Veja se concorda com a minha:

\(\left( \frac{1-x}{\left(x^2 +1\right )^{\frac{3}{2}}} \right )' \\\\\\ = \frac{-1(x^2+1)^{\frac{3}{2}}-(1-x) \cdot \frac{3}{2} \cdot (x^2+1)^\frac{1}{2}\cdot2x}{(x^2+1)^3} \\\\\\ = \frac{(x^2+1)^\frac{1}{2} \cdot \left( -(x^2+1) -3x + 3x^2 \right )}{(x^2+1)^3} \\\\\\ = \frac{2x^2-3x-1}{(x^2+1)^\frac{5}{2}}\)

E neste caso, basta analisar o sinal de \(2x^2-3x-1\). Sendo uma quadrática côncava para cima com discriminante = 17, portanto com duas raízes e negativa entre estas raízes.

Re: Dúvida em Limites Derivadas e estudo do sinal (?)

22 abr 2017, 20:31

Entendi ! Muito obrigado!!!!
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